Enunciado

Para avaliar o suporte técnico do fabricante de computador, o número de toques antes de uma chamada ser respondida por um representante Técnico registrado. Historicamente, 70% das chamadas são respondidas em dois toques ou menos, 25% são respondidas em três ou quatro toques e a chamada gestante requerem cinco histórias. Suponha que você chame fabricante 10 vezes e considere que a chamada sejam independentes.

  1. qual é a probabilidade de oito chamadas serem respondidas em dois toques ou menos, uma chamada ser respondida em três ou quatro toques uma chamada requerer cinco ou mais toques?
  2. Qual é a probabilidade de todas as das chamadas serem respondidas em quatro ou menos toque?
  3. Qual é o número esperado de chamadas respondidas em quatro ou menos toques?
  4. Qual é a distribuição condicional do número de chamadas que requer cinco mas estou aqui se, dado que os chamados são respondidas em dois ou menos toques?
  5. Qual é o número condicional esperado chamadas que requer cinco mais toques, dado que oito chamadas são respondidas em dois ou menos toques?
  6. O número de chamadas respondidas em dois ou menos estou aqui de um número de chamadas requerendo cinco mais toques são variáveis aleatórias independentes?

Passo 1

Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é gigante, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!

A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X, Y, Z) é uma distribuição multinomial:

f X Y Z ( x , y , z ) = P ( X = x , Y = y , Z = z ) = n ! x ! y ! z ! p 1 x p 2 y p 3 z

com parâmetros

ρ 1 = 0.7 , p 2 = 0.25 , p 3 = 1 - 0.7 - 0.25 = 0.05 n = 10

onde X, Y e Z são o número de chamadas atendidas em dois toques ou menos, três ou quatro toques e cinco toques ou mais, respectivamente.

Passo 2

Letra a:

A probabilidade de que oito chamadas sejam atendidas em dois toques ou menos, uma chamada ser atendida em três ou quatro toques e uma chamada requerer de cinco toques ou mais é:

P ( X = 8 , Y = 1 , Z = 1 ) = 10 ! 8 ! 1 ! 1 ! × 0.7 8 × 0.25 1 × 0.05 1 = 0.0649

Passo 3

Letra b:

Para calcular a probabilidade de que todas as 10 chamadas sejam atendidas em quatro toques ou menos, imagine que temos uma variável aleatória R que denota o número de chamadas atendidas em quatro toques ou menos. Com base nas informações que temos, a probabilidade será p = 0.7 + 0.25 = 0.9 e, uma vez que existem apenas dois eventos possíveis, a variável aleatória R seguirá a distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0.9 . Lembre-se que:

A distribuição binomial com parâmetros n e p ( q = 1 - p ) é, para x ∈ { 0,1 , 2 , . . . , n } :

P ( X = x ) = n x p x q n - x

Então, a probabilidade é:

P ( R = 10 ) = 1 × 0.95 10 × 0.05 0 = 0.5987

Passo 4

Letra c:

O número esperado de chamadas atendidas em quatro toques ou menos pode ser calculado usando o resultado conhecido para a expectativa de distribuição binomial, E ( X ) = n × p . Portanto:

E ( R ) = 10 × 0.95 = 9.5

Passo 5

Letra d:

A distribuição condicional do número de chamadas que requerem cinco toques ou mais, dado que oito chamadas são atendidas em dois toques ou menos significa que nós precisamos encontrar a distribuição Y | X = 8 que é 0 para z ∈ { 3,4 , . . . , 10 } , porque x + z = 8 + z > 10 .

Para encontrar a distribuição, usaremos o seguinte. Para duas variáveis ​​aleatórias X e Z, a distribuição de probabilidade condicional Z | X = x pode ser calculado como:

f Z ∣ x = x ( y ) = f X Z ( x , z ) f X ( x )

O seguinte deve ser calculado para z ∈ { 0 , 1,2 } :

f Z ∣ x = 8 ( z ) = f X Z ( 8 , z ) f X ( 8 )

mas para z ∈ { 3,4 , . . . , 10 } a função de massa conjunta é zero, porque x + z = 16 + z > 20 , como já mencionamos.

Observe que a função de massa conjunta f X Z da variável aleatória (X,Z) pode ser escrita usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), f X Y Z   como:

f X Z ( x , z ) = 19 ! x ! z ! ( 10 - x - z ) ! × 0.7 x × 0.05 z × 0.25 10 - x - z = f X Y Z ( x , 10 - x - z , z )

o que é esperado desde que, por exemplo, x = 8 ,   z = 1 tenha um valor para y de y = 10 - 8 - 1 = 1 . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:

f Z ∣ x = 8 ( z ) = f X Z ( 8 , z ) f X ( 8 ) = 10 ! 8 ! ⩽ ! ( 2 - z ) ! × 0.05 z × 0.25 2 - z × 0.7 8 10 ! 8 ! 2 ! × 0.7 8 × 0.3 2 = = ( 1 ) 2 ! z ! ( 2 - z ) ! × 0.05 0.3 z × 0.25 0.3 1 - z = = 2 ! z ! ( 2 - z ) ! × 1 6 z × 5 6 1 - z

Isso significa que a variável aleatória Z | X = 8 tem uma distribuição binomial com parâmetros em n = 2 e p = 1 6 . Note que a variável aleatória Z | X = 8 tem intervalo R Z | X = 8 = { 0,1 , 2 } .

Passo 6

Letra e:

Para calcular o número esperado de chamadas que requerem cinco toques ou mais, dado

que oito chamadas são atendidas em dois toques ou menos, usaremos o resultado que mencionamos antes:

E ( Z ∣ x = 8 ) = n × p = 2 × 1 6 = 1 3

Passo 7

Letra f:

Para o número de chamadas atendidas em dois toques ou menos ( X ) e o número de chamadas antigas que requerem cinco chamadas ou mais (z) para serem variáveis ​​aleatórias independentes, a distribuição marginal de Z | X = 8 tem que ser igual à distribuição da variável aleatória Z. Portanto,

f Z ∣ x = 8 ( z ) = f Z ( z ) ,  para todo  z ∈ { 0,1 , 2 , … , 20 }

o que obviamente não é verdade (a distribuição de Z é Binomial com parâmetros n = 10 e p = 0.05 e a distribuição de Z | X = 16 ).

Conclusão: as variáveis ​​aleatórias X e Z não são independentes.

Resposta

  1. 0.0649
  2. 0.5987
  3. 9.5
  4. a variável aleatória Z | X = 8 tem uma distribuição binomial com parâmetros em n = 2 e p = 1 6 .
  5. 1 3
  6. as variáveis ​​aleatórias X e Z não são independentes.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o resultado do Exercício 28 para mostrar que, quando X e Y sao independentes, C o v ⁡ ( X , Y ) = C o n ⁡ ( X , Y ) = 0 .
a. Lembrando-se da definição de σ 2 para uma única va X , escreva uma fórmula apropriada para calcular a variância da função h ( X , Y ) de duas variáveis aleatórias. [Sugestão: lembre-se de que a var
a. Calcule a covariância entre X e Y no Exercicio 9 . b. Calcule o coeficiente de correlação ρ para X e Y .
a. Calcule a covariância de X e Y no Exercício 22 .b. Calcule ρ de X e Y no mesmo exercício.
Mostre que, se Y = a X + b ( a ≠ 0 ) , então C o r r ⁡ ( X , Y ) = + 1 ou - 1 . Sob quais condições ρ = + 1 ?