Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 78
Para avaliar o suporte técnico do fabricante de computador, o número de toques antes de uma chamada ser respondida por um representante Técnico registrado. Historicamente, 70% das chamadas são respondidas em dois toques ou menos, 25% são respondidas em três ou quatro toques e a chamada gestante requerem cinco histórias. Suponha que você chame fabricante 10 vezes e considere que a chamada sejam independentes.
- qual é a probabilidade de oito chamadas serem respondidas em dois toques ou menos, uma chamada ser respondida em três ou quatro toques uma chamada requerer cinco ou mais toques?
- Qual é a probabilidade de todas as das chamadas serem respondidas em quatro ou menos toque?
- Qual é o número esperado de chamadas respondidas em quatro ou menos toques?
- Qual é a distribuição condicional do número de chamadas que requer cinco mas estou aqui se, dado que os chamados são respondidas em dois ou menos toques?
- Qual é o número condicional esperado chamadas que requer cinco mais toques, dado que oito chamadas são respondidas em dois ou menos toques?
- O número de chamadas respondidas em dois ou menos estou aqui de um número de chamadas requerendo cinco mais toques são variáveis aleatórias independentes?
Passo 1
Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é gigante, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!
A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X, Y, Z) é uma distribuição multinomial:
com parâmetros
onde X, Y e Z são o número de chamadas atendidas em dois toques ou menos, três ou quatro toques e cinco toques ou mais, respectivamente.
Passo 2
Letra a:
A probabilidade de que oito chamadas sejam atendidas em dois toques ou menos, uma chamada ser atendida em três ou quatro toques e uma chamada requerer de cinco toques ou mais é:
Passo 3
Letra b:
Para calcular a probabilidade de que todas as 10 chamadas sejam atendidas em quatro toques ou menos, imagine que temos uma variável aleatória R que denota o número de chamadas atendidas em quatro toques ou menos. Com base nas informações que temos, a probabilidade será e, uma vez que existem apenas dois eventos possíveis, a variável aleatória R seguirá a distribuição binomial com parâmetros e . Lembre-se que:
A distribuição binomial com parâmetros e é, para :
Então, a probabilidade é:
Passo 4
Letra c:
O número esperado de chamadas atendidas em quatro toques ou menos pode ser calculado usando o resultado conhecido para a expectativa de distribuição binomial, . Portanto:
Passo 5
Letra d:
A distribuição condicional do número de chamadas que requerem cinco toques ou mais, dado que oito chamadas são atendidas em dois toques ou menos significa que nós precisamos encontrar a distribuição que é 0 para , porque .
Para encontrar a distribuição, usaremos o seguinte. Para duas variáveis aleatórias X e Z, a distribuição de probabilidade condicional pode ser calculado como:
O seguinte deve ser calculado para :
mas para a função de massa conjunta é zero, porque , como já mencionamos.
Observe que a função de massa conjunta da variável aleatória (X,Z) pode ser escrita usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), como:
o que é esperado desde que, por exemplo, tenha um valor para y de . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:
Isso significa que a variável aleatória tem uma distribuição binomial com parâmetros em e . Note que a variável aleatória tem intervalo .
Passo 6
Letra e:
Para calcular o número esperado de chamadas que requerem cinco toques ou mais, dado
que oito chamadas são atendidas em dois toques ou menos, usaremos o resultado que mencionamos antes:
Passo 7
Letra f:
Para o número de chamadas atendidas em dois toques ou menos e o número de chamadas antigas que requerem cinco chamadas ou mais (z) para serem variáveis aleatórias independentes, a distribuição marginal de tem que ser igual à distribuição da variável aleatória Z. Portanto,
o que obviamente não é verdade (a distribuição de Z é Binomial com parâmetros e e a distribuição de ).
Conclusão: as variáveis aleatórias X e Z não são independentes.
Resposta
- 0.5987
- 9.5
- a variável aleatória tem uma distribuição binomial com parâmetros em e .
- as variáveis aleatórias X e Z não são independentes.