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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 100

Em um sistema de comunicação de dados, várias mensagens que chegam a um nó são agrupadas em bloco antes de serem transmitidas ao longos da rede. Suponha que as mensagens cheguem ao nó de acordo com um processo de Poisson, com τ = 30 mensagens por minuto. Cinco mensagens são usadas para formar um bloco.

  1. Qual é o tempo médio até que um bloco seja formado, isto é, até que cinco mensagens cheguem ao nó?
  2. Qual é o desvio-padrão do tempo até que um bloco seja formado?
  3. Qual é a probabilidade de um pacote ser formado em menos de 10 segundos?
  4. Qual é a probabilidade de um pacote ser formado em menos de 5 segundos?

Passo 1

Vamos dizer que Y seja a variável aleatória de Poisson com parâmetros τ = 30 mensagens por minuto, com a quantidade de T minutos deixado a sua escolha. Então, a função de distribuição de probabilidade é dada como:

f Y ( y ) = ( τ T ) y e - τ T y ! ,   y ∈ ℵ 0

Agora, vamos introduzir a variável aleatória de Erlang X, com os parâmetros r=5 (para formar um bloco) e τ = 30 mensagens por minuto como dito antes. Observe que X é exatamente o tempo aleatória de formação do primeiro bloco!

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média da variável aleatória X:

E ( X ) = r τ = 1 6 m i n u t o s = 10   s e g u n d o

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular o desvio padrão da variável aleatória X:

D P ( X ) = r τ 2 = 4.5   s e g u n d o s

Passo 4

Letra c:

Agora, vamos fazer T=10 segundos = ⅙ minutos, o que nos leva a τ T = 5 , e note que a probabilidade de o bloco ser formado em menos de 10 segundos é:

P ( Y ≥ 5 ) = 1 - f Y ( 0 ) - . . . - f Y ( 4 ) = 1 - e - 5 ( 1 + 5 + 25 / 2 + 125 / 6 + 625 / 24 ) = 0.56

Passo 5

Letra d:

Assim como na letra c, mas agora fazendo T=1/12 minutos e τ T = 2.5 , encontramos que:

P ( Y ≥ 5 ) = 0.11

Resposta

  1. 10 segundos
  2. 4.5 segundos
  3. 0.56
  4. 0.11
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