Enunciado

Três cozinheiros, A, B e C, assam um tipo especial de bolo e, com respectivas probabilidades 0,02, 0,03 e 0,05, esse bolo não cresce. No restaurante onde trabalham, A cozinha 50%, B cozinha 30% e C cozinha 20% desses bolos. Que proporção de "fracassos" é causada por A?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos entender os eventos, eles são relacionados aos bolos e suas respectivas taxas de falhas, então, vamos lá

F - O   b o l o   n ã o   c r e s c e

A - O   c o z i n h e i r o   A   f a z   o   b o l o

B - O   c o z i n h e i r o   B   f a z   o   b o l o  

C - O   c o z i n h e i r o   C   f a z   o   b o l o

Com isso, podemos entender as probabilidades no caso em que o bolo não cresce, que para nossa alegria, já são descritas no enunciado, então, com isso, nós temos que:

P F A = 0,02

P F B = 0,03

P F C = 0,05

Agora, nós temos que entender o quanto cada cozinheiro cozinha, e com isso, enumerar as probabilidades, isso também é descrito no enunciado (o que já facilita nosso trabalho 😊)

P A = 0,5

P B = 0,3

P C = 0,2

O problema nos pede a proporção de fracassos com o cozinheiro A, então já podemos entender que o ele quer é a probabilidade condicional de ter falha quando o cozinheiro A está cozinhando, em termos matemáticos, isso é igual a

P ( A | F )

Esse é o termo que temos que calcular!

Passo 2

Com A, B e C como hipóteses concorrentes (um sistema completo de eventos), vamos usar a fórmula de Bayes

P A F = P F A P A P F A P A + P F B P B + P F C P C

O bom nesse caso é que já temos os valores de todas as probabilidades do lado direito da fórmula, com isso já podemos substituir os termos na fórmula

P A F = 0,02 ∙ 0,5 0,02 ∙ 0,5 + 0,03 ∙ 0,3 + 0,05 ∙ 0,2

Desenvolvendo a divisão, nós temos

P A F = 0,01 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,01 0,029 = 0,345

Com isso, a probabilidade de ter um fracasso com o cozinheiro A é igual a 0,345

Resposta

P A F = 0,345

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