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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 13

Seja u → , v → , w → , r → um conjunto ortonormal:

I - u → - v → + w → - r → = 0

I I - u → - v → - w → - r → = 2

(a) I é falsa e I I é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Vamos usar a definição de norma de um vetor:

u → - v → + w → - r → = u → - v → + w → - r → , u → - v → + w → - r →

u → - v → + w → - r → 2 = u → - v → + w → - r → , u → - v → + w → - r →

Vamos usar a linearidade do produto interno:

u → - v → + w → - r → , u → - v → + w → - r → = u → , u → - 2 u → , v → + 2 u → , w → - 2 u → , r → + v → , v → - 2 v → , w → + 2 v → , r → + w → , w → - 2 w → , r → + r → , r →

Passo 2

Bom, sabemos que o conjunto é ortonormal, ou seja, o produto interno dos vetores com eles mesmos vai ser 1 e entre eles vai ser 0, assim, substituindo:

u → - v → + w → - r → , u → - v → + w → - r → = 1 - 0 + 0 - 0 + 1 - 0 + 0 + 1 - 0 + 1 = 4

u → - v → + w → - r → 2 = 4

u → - v → + w → - r → = 2

Logo, a primeira afirmativa é falsa! Vamos fazer o mesmo para a segunda.

Passo 3

u → - v → - w → - r → = u → - v → - w → - r → , u → - v → - w → - r →

u → - v → - w → - r → , u → - v → - w → - r → = u → , u → - 2 u → , v → - 2 u → , w → - 2 u → , r → + v → , v → + 2 v → , w → + 2 v → , r → + w → , w → + 2 w → , r → + r → , r →

u → - v → - w → - r → , u → - v → - w → - r → = 1 - 0 - 0 - 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 4

u → - v → - w → - r → = 2

Logo essa afirmativa é verdadeira!!

Resposta

a

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