Enunciado

Mostre que a distribuição dos elétrons é esfericamente simétrica para um átomo em que um elétron ocupa cada um dos três orbitais p de uma dada camada.

Passo 1

Para um orbital com função de onda,  ψ ( r , θ , ϕ ) a probabilidade de encontrar o elétron no volume pequeno δ V em um local, especificado por r , θ e ϕ é dada pela expressão ψ 2 r , θ , ϕ δ V .

Lembre-se de que a função de onda,  ψ ( r , θ , ϕ ) para um orbital, pode ser escrita como o produto da função de onda radial R ( r ) , função que depende apenas da  r , e da função de onda angular Y ( θ , ϕ ) , uma função que depende apenas dos ângulos θ ϕ . Isso é:

ψ r , θ , ϕ =   R r × Y ( θ , ϕ )

Passo 2

A função de onda radial  R r , para os três orbitais 2 p (consulte a Tabela 2.1 no livro), é

R r = 1 2 6 Z a 0 3 2 Z r a 0 e - Z r 2 a 0  

A função de onda angular para os três orbitais 2 p (consulte a Tabela 2.1 no livro) é

Y x θ , ϕ = 3 4 π 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Y y θ , ϕ = 3 4 π 1 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Y z θ , ϕ = 3 4 π 1 2 cos ⁡ θ

Passo 3

A densidade de probabilidade de um elétron que ocupa cada um dos três orbitais p é dada pela soma dos quadrados das três funções de onda correspondentes.

D e n s i d a d e   d e   p r o b a b i l i d a d e = ψ x 2 r , θ , ϕ + ψ y 2 r , θ , ϕ + ψ z 2 r , θ , ϕ

Agora expressamos a função de onda como o produto das funções de onda radial e angular para obter

D e n s i d a d e   d e   p r o b a b i l i d a d e = R r Y x θ , ϕ 2 + R r Y y θ , ϕ 2 + R r Y z θ , ϕ 2

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r Y x 2 θ , ϕ + Y y 2 θ , ϕ + Y z 2 θ , ϕ

Substituindo as expressões conhecidas por funções de onda angulares e simplificando, temos:

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r 3 4 π sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ + 3 4 π sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + 3 4 π cos 2 ⁡ θ

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r 3 4 π sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ θ

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r 3 4 π sen 2 ⁡ θ ( cos 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ ϕ ) + cos 2 ⁡ θ

Temos que, cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 , portanto:

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r 3 4 π sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

D e n s .   d e   p r o b . = R 2 r 3 4 π

Passo 4

Essa densidade de probabilidade é independente dos ângulos, o que significa que a probabilidade de encontrar o elétron ocupando cada um dos três orbitais p é a mesma em todas as direções e, portanto, é esfericamente simétrica.

Assim, para um átomo com elétrons ocupando cada um dos três orbitais p , a distribuição eletrônica é esfericamente simétrica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As lâmpadas de vapor de sódio usadas na iluminação publica emitem luz amarela de comprimento de onda 589 nm. Quanta energia é emitida por (a) um átomo de sódio excitado quando ele gera um fóton. (b) 5
Uma lâmpada funciona em 40 W ( 1 W = 1J . s - 1 ) emite luz azul de comprimento do onda 470 nm. Quantos fótons de luz azul pode a lâmpada gerar 2,0 s?
Quando um feixe de elétrons choca-se com um bloco de cobre, são emitidos raios X com frequência 1,2.10 17 H z . Quanta energia é emitida por (a) um átomo de cobre excitado quando ele gera um fóon de r
Avalie a probabilidade de encontrar um elétron em uma pequena região do orbital 1s do hidrogênio a uma distância de 0,55 a 0 do núcleo, em relação à probabilidade de encontrá-lo em uma região de mesmo
Avalie a probabilidade de encontrar um elétron em uma pequena região do orbital 1s do hidrogênio a uma distância de 0,6 5 a 0 do núcleo, em relação à probabilidade de encontrá-lo em uma região de mesm