Para qual conjunto de valores de x , a sequência ( s n ) n   ∈   N cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 1 n ( x - 1 ) 2 n , n ≥ 1 .

converge?

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Nós temos aqui uma sequência cujo n-ésimo termo é definido pela seguinte soma de termos

s n = ∑ k = 1 n ( x - 1 ) 2 n ,   n ≥ 1

mas tem uma coisinha errada nesta definição, note que o índice da soma é k , e não existe nenhum k para somar, isso foi um errinho de quem escreveu a questão, na verdade, a definição acima deveria ser

s n = ∑ k = 1 n ( x - 1 ) 2 k ,   n ≥ 1

Agora podemos resolver a questão! Precisamos achar o conjunto de valores de x para o qual este n-ésimo termo convirja. Ou seja, analisar o intervalo de convergência da série que representa o n-ésimo termo de nossa sequência! Vamos trabalhar utilizando a seguinte série infinita

∑ k = 1 ∞ ( x - 1 ) 2 k

obter um intervalo de convergência! Vem comigo!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = ( x - 1 ) 2 k

e, portanto que

a k + 1 = ( x - 1 ) 2 k + 1

E, o nosso limite toma a forma

L   =   l i m k → ∞ | ( x - 1 ) 2 k + 1 ( x - 1 ) 2 k |

Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 3

Usando que ( x - 1 ) 2 k + 1 = ( x - 1 ) 2 k ( x - 1 ) 1 , podemos simplificar um pouco o limite, temos que

  l i m k → ∞ | ( x - 1 ) 2 k + 1 ( x - 1 ) 2 k |   =   l i m k → ∞ | ( x - 1 ) 2 k ( x - 1 ) ( x - 1 ) 2 k | = l i m k → ∞ | ( x - 1 ) |

Como temos que o limite afeta apenas k , podemos escrever este limite como

| ( x - 1 ) | l i m k → ∞ [ 1 ] = | x - 1 |

ou seja, o nosso limite resulta em

L = | x - 1 |

Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!

Passo 4

Para que a série seja convergente é preciso que L < 1 , portanto, temos que

L = | x - 1 | < 1

Como temos uma função módulo é preciso que além de x - 1 < 1 , que , - 1 < x - 1 , pois os valores negativos de x - 1 são tomados como positivos! Sendo assim, nosso intervalo de convergência é dado pela desigualdade

- 1 < x - 1 < 1

Se somarmos 1 em toda a desigualdade, temos que

- 1 + 1 < x - 1 + 1 < 1 + 1

resultando em

0 < x < 2

Essa desigualdade dá uma prévia do intervalo de convergência da série infinita. Temos que ela seria

I . C .   = ( 0,2 )

Mas para sabermos se os extremos pertencem ao conjunto devemos avaliá-los independentemente! Vamos fazer isso!

Passo 5

Para x = 0 , temos que

∑ k = 1 ∞ ( x - 1 ) 2 k = ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) 2 k

note que como 2 k é por definição um número par! Todos os elementos desta série são 1 , e somam infinitamente até o infinito, portanto, esta série é claramente divergente! Agora, para x = 2 , temos que

∑ k = 1 ∞ ( x - 1 ) 2 k = ∑ k = 1 ∞ ( 2 - 1 ) 2 k = ∑ k = 1 ∞ ( 1 ) 2 k

que é divergente pelo menos argumento acima! Portanto, podemos garantir que o intervalo de convergência é aberto como escrevemos anteriormente

I . C   =   ( 0,2 )

Como este intervalo garante a convergência da série infinita, ele com certeza garante a convergência do n-ésimo termo dado por

s n = ∑ k = 1 n ( x - 1 ) 2 k , n ≥ 1 .

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

I . C   =   ( 0,2 )

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