Determine o raio de convergência da série

∑ k = 1 ∞ x k k

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ k = 1 ∞ x k k

Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para x tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = x k k

e, portanto que

a k + 1 = x k + 1 k + 1

E, o nosso limite toma a forma

L   =   l i m k → ∞ | x k + 1 / k + 1 x k / k |

Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 3

Usando que x k + 1 = x k x 1 , podemos simplificar um pouco o limite, temos que

  l i m k → ∞ | x k + 1 / k + 1 x k / k |   =   l i m k → ∞ | x k x / k + 1 x k / k | = l i m k → ∞ | x k k + 1 |

Podemos juntar todos os k dentro da mesma raiz, e como temos que x não é afetado pelo limite, obtemos

l i m k → ∞ | x k k + 1 | = | x | l i m k → ∞ k k + 1

O limite só se importa com os k , então ele ignora a raiz e afeta direto a razão de polinômios no radicando, como temos que k → ∞ , é comum dividir o numerador e o denominador de razões pelo termo de maior ordem, em nosso caso, o próprio k , temos que

| x | l i m k → ∞ k k + 1 = | x | l i m k → ∞ k / k ( k + 1 ) / k

simplificando os k , temos que

| x | l i m k → ∞ k / k ( k + 1 ) / k = | x | l i m k → ∞ 1 1 + 1 / k = | x | 1 1 + 1 / ∞

Como temos que 1 / ∞ → 0 , obtemos que a as condições de convergência devem ser aplicadas sobre

L = | x |

Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!

Passo 4

Para que a série seja convergente é preciso que L < 1 , portanto, temos que

L = | x | < 1

Como temos uma função módulo é preciso que além de x < 1 , que , - 1 < x , pois os valores negativos de x são tomados como positivos! Sendo assim, nosso intervalo de convergência é dado pela desigualdade

- 1 < x < 1

O raio de convergência é então r = 1 , pois é a distância do centro de convergência x = 0 à um dos extremos! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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