13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

f) ∑ n = 0 ∞ 2 x n

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ 2 x n

Pelo que podemos analisar, f x = 2 x e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

2 x < 1

- 1 < 2 x < 1

- 1 2 < x < 1 2

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = 1 2 - - 1 2 2

R = 1 2

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Nesse caso, para x = - 1 2 , temos que pelo teste das series alternadas.

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n = D i v e r g e

Agora quanto x = 1 2 podemos perceber que a série diverge pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ 2 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 n = D i v e r g e

Logo, o intervalo de convergência é dado por

- 1 2 < x < 1 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

R = 1 2

- 1 2 < x < 1 2

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