13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

k) ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, como temos um fatorial no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, o resultado do limite tem que ser menor que 1 dessa forma vamos obter uma função de x em um intervalo numérico e esse intervalo resulta no intervalo de convergência da série.

Nas bordas do intervalo temos que analisar separadamente para observar se há convergência.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 n + 1 ! · n ! - 1 n x n

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ x n + 1

Fazendo n → ∞ , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 = x ∞

Como esse resultado tem que ser maior que 1 para a série convergir, temos

x ∞ < 1

Perceba que para essa inequação ser verdadeira, x pode assumir qualquer valor, portanto o intervalo de convergência é

- ∞ < x < ∞

Com o raio

R = ∞

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

R = ∞

- ∞ < x < ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n