Encontre o intervalo de convergência da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n x - 3 n . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Ih caramba, que somatório feioso! Sério mesmo, olha quanta coisa aqui:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n x - 3 n

Mas galera, uma coisa importante desse somatório é que como ele ocorre em função de n , o x ta ali só pra atrapalhar. Alguns valores que ele assumir vão tornar a série convergente, outros divergente. Vamos ver quais? Pra isso, aplicando o teste da razão, temos que, para:

a n = - 1 n n ∙ 5 n x - 3 n

A série converge se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Po, então substituindo no limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ∙ x - 3 n + 1 n + 1 ∙ 5 n + 1 - 1 n ∙ x - 3 n n ∙ 5 n < 1

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ∙ x - 3 n + 1 n + 1 ∙ 5 n + 1 ∙ n ∙ 5 n - 1 n ∙ x - 3 n < 1

Simplificando esse limite feioso, temos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 1 ∙ x - 3 1 ∙ n n + 1 ∙ 5 1 < 1

Tirando do limite tudo que não tem a ver com n :

- 1 x - 3 5 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 < 1

3 - x 5 ∙ lim n → ∞ ⁡ n ∙ 1 n ∙ 1 + 1 n < 1

3 - x 5 ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n < 1

E finalmente, aplicando o limite, temos:

3 - x 5 ∙ 1 1 + 1 ∞ < 1

3 - x 5 ∙ 1 1 + 0 < 1

3 - x 5 < 1

E olha só! Agora podemos achar um intervalo de convergência pra x . Só multiplicar os dois lados por 5 e abrir o módulo:

3 - x < 5

- 5 < 3 - x < 5

- 8 < - x < 2

Multiplicando tudo por - 1 e arrumando, temos:

8 > x > - 2

- 2 < x < 8

Esse, no entanto, não é nosso intervalo de convergência real, pois falta testarmos as extremidades dele, ok? Bora lá.

Passo 2

Bem galera, parece que acabou, mas não conhecemos a convergência da série exatamente nos extremos do intervalo encontrado! Bora achar então. Começando com x = - 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n - 2 - 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n - 5 n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n - 1 ∙ 5 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n - 1 n ∙ 5 n

Podemos cortar em cima e em baixo o termo 5 n e fazer o quadrado do termo - 1 n , ficando com:

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Afinal, mesmo que - 1 n eventualmente dê negativo, o quadrado eliminará ele! A série que sobrou é exatamente a série harmônica! Esse carinha a gente conhece e sabe que diverge! Então no extremo x = - 2 a série é divergente. Testando agora pra x = 8 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n 8 - 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ∙ 5 n 5 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Achamos a série harmônica alternada! Pra saber se esse cara converge ou diverge podemos usar o Critério de Leibniz, que diz que, dada uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

Onde, no nosso caso, b n = 1 n , a série vai convergir se:

b n + 1 ≤ b n     p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0

E galera, não é que nosso b n satisfaz as duas condições? Afinal:

1 n + 1 ≤ 1 n

É o mesmo que:

n + 1 ≥ n

1 ≥ 0

O que, bem, é verdade hahaha e de fato, temos que:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Portanto a Série Harmônica Alternada é convergente e o intervalo de convergência real da nossa série será:

- 2 < x ≤ 8

Resposta

Intervalo real de convergência será para - 2 < x ≤ 8

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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