Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

20)

f x = x 2 + x 1 - x 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 2 + x 1 - x 3

Nesse caso, vamos dividir o problema em duas partes.

Primeiro vamos encontrar a série de potência de 1 1 - x 3 .

Para isso, a gente já sabe que:

1 1 - x 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + … = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

Agora vamos derivar para que o denominador fique elevado ao cubo!!

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Derivando a expressão, obtemos:

1 1 - x 2 ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n ' ∴

2 1 - x 3 = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1

Dessa forma, a função f x = x 2 + x 1 - x 3 é dada por:

f x = x 2 + x 1 - x 3 2 2 ∴

f x = x 2 + x * ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1 ∴

f x = x 2 2 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1 + x 2 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1 ∴

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n + 1 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n 2 ∴

f x = ∑ n = 1 ∞ n 2 x n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, temos:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 2 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 1 + 2 n + 1 n 2 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 1 ∴

R = 1

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ n 2 x n

R = 1

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