Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um redutor de velocidades é feito com ondulações aproximadamente senoidais construídas na pista de uma rodovia. Deseja-se que a velocidade dos automóveis seja inferior a v . Considere que a massa de um automóvel é de M   =   4 m igualmente distribuída entre as 4 rodas, e que os amortecedores independentes de cada roda têm uma mola de constante elástica k mergulhada num fluido de viscosidade ρ . O engenheiro decide que o redutor deve ser tal que o automóvel tenha a máxima amplitude de oscilação induzida pelas ondulações da pista exatamente quando o automóvel passa à velocidade v pelo redutor.

Qual deve ser a distância entre as ondulações da pista?

a 4 π 2 m v 2 k - ρ 2 2 m

b 4 π 2 m v 2 k - ρ 2 2 m  

c 4 π 2 m v 2 k

  d k - ρ 2 2 m 4 π 2 m v 2    

e 4 π 2 m v 2 k - ρ 2 / ( 4 m )  

Passo 1

Como o enunciado nos diz que a massa do automóvel é igualmente distribuída pelas rodas e cada roda possui seu k   e c . Então podemos analisar em separado cada roda, encontrando assim a equação do movimento

x ¨ + ρ m x ˙ + k m x = 0

Passo 2

Mas como vamos relacionar a distância entre os redutores com k ,   m   e ρ ?

Bem, o enunciado nos deu a dica, ele diz que o engenheiro projetou de tal forma que teremos a amplitude máxima de oscilação, quando o carro passar.

Então sempre que o carro passar teremos a amplitude máxima. Então toda hora que passarmos por um redutor estaremos na mesma amplitude do redutor anterior? Huumm! Isso me parece muito com o período, certo?

Assim temos que

v = Δ S Δ t = Δ S T  

Então temos que a distancia entre os redutores, será dada por

Δ S = v . T

Pois, a velocidade do carro para termos a amplitude máxima é v e quando isso ocorre o tempo entre os redutores é o mesmo que o período.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o período então!

Vimos que

T = 1 f = 2 . π ω

Sendo que ω , nós conseguimos descobrir pela equação do MHA, porém queremos o máximo amplitude, então estudamos o caso de ressonância e vimos na teoria de ressonância ω m a x   é dado por:

ω m a x = ω 0 2 - γ 2 2

Onde, ω 0 2 = k m e γ = ρ m

Substituindo esses dados na equação temos:

ω m a x = k m - ρ m 2 2 = 2   k . m - ρ 2 2 m 2

Passo 4

Agora conseguimos descobrir o valor de Δ S ,

Δ S = v . T = v . 2 . π 2   k . m - ρ 2 2 m 2 = v . 2 . π . 2 m 2 2   k . m - ρ 2

Passando tudo para dentro da raiz temos:

Δ S = 8 . π 2 v 2 . m 2 2   k . m - ρ 2 = 4 π 2 m v 2 k - ρ 2 / ( 2 m )

Alternativa ( a )

Resposta

Alternativa a

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