Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:

n) lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função f x = x e 1 / x , quando x tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.

Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo ∞ ∞ e 0 0 . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.

Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

Temos uma indeterminação porque 1 x , no expoente da função, não é definida para x = 0 . Então, vamos começar colocando esse produto na forma de quociente:

lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 1 x

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:

lim x → 0 + ⁡ - e 1 / x x 2 - 1 x 2

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 0 + ⁡ - e 1 x x 2 ∙ - x 2 1

= lim x → 0 + ⁡ e 1 / x

Agora, pra ficar mais fácil de visualizar, a gente pode separar o limite do quociente no quociente dos limites, no expoente da função:

e l i m x → 0 + 1 l i m x → 0 + x

Daí nós temos o limite da constante no numerador, que é a própria constante. E no limite do denominador, nossa função vai para zero. Então, o resultado dessa divisão vai para infinito:

= e ∞

= ∞

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)