Mostre que f x = ∫ 0 1 / x 1 t 2 + 1 d t + ∫ 0 x 1 t 2 + 1 d t é constante em 0 , ∞ . Qual o valor dessa constante?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente resolva a seguinte função:

f x = ∫ 0 1 / x 1 t 2 + 1 d t + ∫ 0 x 1 t 2 + 1 d t

Onde f x deve ser uma constante em 0 , ∞ .

Para a gente provar isso, temos que resolver cada integral e analisar o comportamento no infinito!!

E aí, bora lá?

😉

Passo 2

Então... vamos resolver a seguinte integral indefinida:

∫ 1 t 2 + 1 d t

Bom... a princípio vemos que trata-se de uma integral já tabelada, o qual seu resultado é:

arctan ⁡ t + c

Nesse sentido, substituindo os intervalos de integração, temos que f x é dada por:

f x = arctan ⁡ 1 x + arctan ⁡ x

Passo 3

Agora vamos atribuir alguns valores para x :

  • Para x = 30 :

f 30 = arctan ⁡ 1 30 + arctan ⁡ 30 ∴

f 30 = π 2

  • Para x = 5 0 :

f 5 0 = arctan ⁡ 1 5 0 + arctan ⁡ 5 0 ∴

f 5 0 = π 2

  • Para x = 8 0 :

f 8 0 = arctan ⁡ 1 8 0 + arctan ⁡ 8 0 ∴

f 8 0 = π 2

Perceba que para qualquer valor que a gente insira, sempre obteremos como resultado a constante π 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x