Uma bola de ferro esférica com 8 cm. de diâmetro está coberta com uma camada de gelo de espessura uniforme. Se o gelo derrete com uma taxa de 10   c m 3 / m i n , a que taxa a espessura do gelo diminuirá quando tiver 2 c m . de espessura? A que taxa a área da superfície externa do gelo diminuirá?

Passo 1

Oi pessoal, tudo belezinha por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas! E bem como o nome diz, precisamos relacionar grandezas!

Temos uma bola de ferro em forma de esfera coberta por uma camada de gelo.

10   c m 3 / m i n

A grande sacada dessa questão vem de chamar a espessura de gelo mais o raio dado da esfera de um raio qualquer r uma vez que a espessura é constante em torno de toda a esfera, o que deixa o volume da espessura de gelo da seguinte forma:

V = 4 3 π r 3 - 4 3 π 4 3   [ c m 3 ]

E a área da superfície fica da seguinte forma:

S = 4 π r 2

O problema pede com que taxa a área varia, então vamos relacionar a variação do volume (que vai se relacionar por sua vez com a variação do raio) com a variação da superfície

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Derivando a equação do volume temos:

d V d t = 4   π r 2 d r d t

r   = e s p e s s u r a   d e   g e l o + r a i o   d a   e s f e r a   d e   f e r r o

Como se quer a taxa de derretimento d r d t para espessura de gelo quando ela for de 2 c m , logo r = 6 c m . Lembrando que V ' = - 10 c m 3 / m i n

- 10 = 4 π × 36   × d r d t

Logo temos:

d r d t = - 5 72   π   c m m i n

O sinal negativo significa que ela diminuiu

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Agora calculando a variação da superfície externa da película de gelo temos:

S = 4 π r 2

d S d t = 8   π r d r d t

Como calculamos d r d t e r no passo anterior, só precisamos substituir!

d r d t = - 5 72   π   c m m i n

r = 6 c m

d S d t = 8 π × 6 ×   - 5 72 π = - 10 3  

E é isso! A área da espessura de gelo está diminuindo (como já podíamos imaginar)!

Belezinha? Vamos treinar mais um pouco?

Resposta

d S d t = - 10 3  

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