7. Uma escada de 8   m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m da parede?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um probleminha de taxa relacionada e para entender o que está acontecendo, vamos montar uma figura:

Repara que desenhando o que problema descreve temos uma triangulo retângulo. Onde a nossa hipotenusa é o tamanho da escada e tem 8   m e t r o s e os catetos são a altura da parede e a distancia do pé da escada até a parede.

O problema disse que o pé se afasta a uma taxa de 2 m / s . Ou seja, conforme aumentamos a distância do pé da escada até a parede, diminuímos a altura de apoio da escada na parede.

E o problema nos pergunta exatamente isso, qual a velocidade em que essa altura diminui no ponto onde a altura é igual a 3   m . Ou seja, temos que relacionar a taxa de variação da distância horizontal com a taxa de diminuição da altura.

Bora lá!

Passo 2

A gente começa estabelecendo uma relação entre os lados do triângulo. Como temos um triângulo retângulo, vamos usar o Teorema de Pitagoras.

h i p o t e n u s a 2 = c a t e t o   1 2 + c a t e t o   2 2

Passando isso para o nosso problema, temos

e s c a d a 2 = a l t u r a 2 + d i s t â n c i a 2

Vamos simplificar e adotar letras para cada variável,

e 2 = y 2 + x 2

Onde y é altura e x é a distância horizontal.

Mas aqui queremos relacionar a taxa de variação de x com a de y . Então vamos derivar essa função!

Passo 3

Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, x e y não estão isolados) para derivar. E quando derivamos implicitamente.

e 2 = y 2 + x 2

Derivando,

0 = 2 y + 2 x x '

Como queremos a variação da altura, vamos isolar y '

y ' = - 2 x x ' 2 y = - x x ' y

Agora vamos substituir com os dados fornecidos pelo enunciado!

Passo 4

A extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s . Ou seja,

x ' = 2   m / s

O problema nos pede a velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m da parede. Ou seja,

y = 3

E para acharmos x , podemos aplicar o Teorema de Pitagoras,

e 2 = y 2 + x 2

8 2 = 3 2 + x 2

x 2 = 55

x = 55

Logo,

y ' = - 55 2 3 = - 2 55 3

Resposta

2 55 3

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