Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

1 . Seja f : R → R dada por f t = s e n   t t , se t ≠ 0 e f 0 = 1 . Se F x = ∫ π / 2 x f t   d t então o valor da integral ∫ 0 π / 2 F x   d x é:

Escolha uma opção:

a .   - 1

b .   1

c .   2

d .   1 2

e .   0

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para resolvermos essa questão temos que usar a definição de seno integral, que é bem dizer o seguinte:

S i x = ∫ 0 x sen ⁡ t t   d t

Onde S i 0 = 0 .

Outra coisa que vamos usar também é que:

∫ S i x d x = x S i x + cos ⁡ x

A partir disso a gente consegue resolver esse problema.

Passo 2

Temos o seguinte então:

F x = ∫ π / 2 x f t   d t = S i x - S i π 2

⇒ F x = S i x - S i π 2

Passo 3

Jogando isso em ∫ 0 π / 2 F x   d x , temos:

∫ 0 π / 2 S i x - S i π 2 d x

= ∫ 0 π / 2 S i x   d x - ∫ 0 π / 2 S i π 2   d x

= x S i x + cos ⁡ x 0 π 2 - x S i π 2 0 π 2

Então temos que:

∫ 0 π / 2 F x   d x = π 2 S i π 2 + 0 - 0 - 1 - π 2 S i π 2 - 0 = - 1

⇒ ∫ 0 π / 2 F x   d x = - 1

Então a alternativa correta é a letra ( a ) .

Resposta

a . - 1

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