Enunciado

Um gás deve ser expandido adiabaticamente a partir de 3 MPa e 300 °C para 80 kPa em um arranjo pistão-cilindro. Qual das duas opções - ar com uma eficiência de expansão isentrópica de 90% ou néon com uma eficiência de expansão isentrópica de 80% - vai produzir um maior trabalho?

Passo 1

Vamos entender o enunciado juntos.

Queremos comparar o trabalho produzido em uma expansão adiabática (isentrópica) do ar e do néon.

Nossa análise vai considerar o ar e o néon gases ideais submetidos às seguintes condições de processo:

P 1 = 3   M P a = 3000   k P a P 2 = 8 0   k P a T 1 = 300   ° C = 573   K T 2 =   ?

Logo, para resolver o problema, devemos calcular as temperaturas do ar e do neón nos estados finais dos processos.

Passo 2

Para calcular a temperatura final do sistema, devemos lembrar da relação isentrópica entre as pressões e temperaturas de um gás ideal:

T 2 T 1 =   P 2 P 1 ( k - 1 ) / k → T 2 =   T 1 P 2 P 1 ( k - 1 ) / k  

Ou seja, os coeficientes de expansão isentrópica são diferentes para os dois gases e a temperatura final é diferente para cada gás. Devemos utilizar a Tabela A-2a (página 909) para buscar o valor do coeficiente de expansão isentrópica, k, a uma temperatura de 400 K .

Assim, para o ar k = 1,400 e para o néon k = 1,667.

Substituindo os valores:

T 2 ,   a r =   T 1 P 2 P 1 ( k - 1 ) / k = 573   K 8 0   k P a 300 0   k P a 1,400 - 1 1,400 = 20 3 , 4   K

T 2 ,   n é o n =   T 1 P 2 P 1 ( k - 1 ) / k = 573   K 80   k P a 3000   k P a 1,667 - 1 1,667 = 134 , 4   K

Passo 3

Por fim, devemos realizar um balanço de energia neste sistema:

E e n t r a - E s a i =   ∆ E s i s t e m a

O lado esquerdo da equação representa a quantidade líquida de energia transferida na forma de trabalho e calor. Já o lado direito representa a variação de energia no sistema na forma de energia potencial, energia cinética ou energia interna.

Reescrevendo a equação, temos:

( Q e n t r a +   W e n t r a ) - ( Q s a i +   W s a i ) =   ∆ U +   ∆ K E +   ∆ P E

Como o problema não informa nada sobre uma diferença nas energias cinética e potencial dos estados inicial e final do sistema, temos que ∆ K E =   ∆ P E = 0 .

Além disso, o sistema trata-se de um recipiente adiabático, onde não há transferência de calor e, portanto, Q e n t r a = Q s a i = 0 .

Por último, o enunciado também afirma que o sistema sofre uma expansão, logo há trabalho de fronteira saindo do sistema e não entrando, e W e n t r a = 0 .

Nosso balanço se torna:

W s a i = - ∆ U

E por unidade de massa:

w s a i = - ∆ u

Devemos lembrar também da relação entre a variação de entalpia e a variação de temperatura para um gás ideal:

Δ u =   c V Δ T

Portanto, devemos voltar na Tabela A-2a e buscar o valor de c V para o ar e para o néon. Assim, encontramos c V , a r = 0,718   k J / k g . K e c V , n é o n = 0,6179   k J / k g . K .

Devemos lembrar que o trabalho fornecido para que a expansão ocorra é igual ao trablho produzido vezes sua eficiência isentrópica η . Dessa maneira:

w f o r n e c i d o = η c V Δ T

Substituindo os valores na equação de balanço para os dois gases:

w f o r n e c i d o , a r = η c V Δ T = ( 0,90 ) ( 0,718   k J / k g . K ) ( 573   K - 203,4   K ) = 238,8   k J / k g

w f o r n e c i d o ,   n é o n = η c V Δ T = ( 0,8 0 ) ( 0,6179   k J / k g . K ) ( 573   K - 134,4   K ) = 216 , 8   k J / k g

Resposta

O trabalho que deve ser fornecido ao ar é maior do que o que deve ser fornecido ao néon.

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