Limites Laterais e Existência do Limite

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Teoria

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x ≥ 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x → 0 ⁡ f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± ∞ .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± ∞ , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

lim x → 0 - ⁡ f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x → a + ⁡ g x = lim x → a - ⁡ g ( x )

lim x → a ⁡ g x ≠   ± ∞

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

Existência do Limite

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a porcentagem de ar teórico necessária para queimar 1   k m o l de C H 4 em uma combustão completa que gera 3   k m o l de oxigênio nos produtos.

Passo 1

Oi, lind@s! Vamos fazer um exercício de cálculo de porcentagem de ar teórico?

Para calcular a porcentagem de ar teórico, temos que dividir a quantidade n a r de k m o l de ar que está presente na combustão pela quantidade n a r   t e ó r i c o de k m o l de ar teórico.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

A quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico é a quantidade de ar necessária pra fazer 1   k m o l do combustível C H 4 passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

C H 4 + a O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O

onde a , b , c e d são os coeficientes estequiométricos da equação química da combustão.

Como o ar é composto de O 2 e N 2 , a quantidade n a r   t e ó r i c o de k m o l de ar é a soma entre a quantidade a de k m o l de O 2 do ar e a quantidade 3,76 a de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = a + 3,76 = 4,76 a

Pra achar a quantidade n a r de ar seco da combustão do enunciado, balanceamos a equação de combustão que gera 3   k m o l de O 2 nos produtos.

C H 4 + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b '   C O 2 + c '   N 2 + d '   H 2 O + 3   O 2

onde a ' , b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão do enunciado.

Nesse caso, n a r é encontrado a partir de uma fórmula parecida com a equação de n a r   t e ó r i c o .

n a r = 4,76 a '

Vamos iniciar as contas, fazendo o balanceamento dessa última equação de combustão pra achar n a r .

Passo 2

Fazer o balanço da equação é a mesma coisa que fazer os elementos químicos do lado esquerdo terem a mesma quantidade de k m o l que dos elementos químicos do lado direito! Ou seja, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 1   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = 1   k m o l

A quantidade d ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 4   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 d '   k m o l de H dos produtos.

2 d ' = 4

d ' = 2   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b ' + d ' + 3 × 2   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b ' + d ' + 3 × 2

2 a ' = 2 × 1 + 2 + 6

a ' = 5   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r :

n a r = 4,76 a '

n a r = 4,76 × 5 = 23 , 8   k m o l

Agora podemos achar n a r   t e ó r i c o no próximo passo e calcular a porcentagem de ar teórico usada na combustão!

Passo 3

Começamos as nossas contas pra achar n a r   t e ó r i c o , calculando b através do balanço de carbono C .

Para a quantidade de C ficar balanceada, 1   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b   k m o l de C dos produtos.

b = 1   k m o l

Antes de achar o coeficiente a , precisamos calcular o coeficiente d através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 4   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 d   k m o l de H dos produtos.

2 d = 4

d = 2   k m o l

O coeficiente a pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d   k m o l de O dos produtos.

2 a = 2 b + d

2 a = 2 × 1 + 2

a = 2   k m o l

Substituindo a na fórmula de n a r :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 2 = 9,52   k m o l

Por fim, substituindo n a r e n a r   t e ó r i c o na equação da porcentagem de ar teórico:

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

%   a r   t e ó r i c o = 23 , 8 9,52

%   a r   t e ó r i c o = 2 , 5

%   a r   t e ó r i c o = 25 0   %

Resposta

%   a r   t e ó r i c o = 25 0   %

Exercício Resolvido #2

3   k m o l de gás metano C H 4 sofre uma combustão completa com 10 % de excesso de ar. Determine a equação balanceada dessa combustão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos aprender a usar porcentagem de ar teórico através de um exercício?

O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é escrever a equação da reação. Pra isso, devemos conhecer os reagentes e produtos. No nosso caso, a questão disse que C H 4 e ar seco reagem na combustão. Logo, C H 4 , O 2 do ar e N 2 do ar são os reagentes. Como a combustão é completa, os produtos são C O 2 , N 2 , H 2 O e O 2 ( O 2 é por causa do excesso de ar).

3   C H 4 + a   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

a , b , c , d e e são os coeficientes estequiométricos da combustão. Fazer o balanceamento da equação é a mesma coisa que achar o valor desses coeficientes.

No entanto, para calcular todos esses coeficientes, precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer os 3   k m o l de C H 4 passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

C H 4 + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b ' C O 2 + c '   N 2 + d '   H 2 O

onde a ' , b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão do enunciado.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade a ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 a ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

Vamos começar o exercício, calculando n a r   t e ó r i c o no próximo passo através do balanceamento dessa última equação de combustão!

Passo 2

Fazer o balanço da equação é a mesma coisa que fazer os elementos químicos do lado esquerdo terem a mesma quantidade de k m o l que dos elementos químicos do lado direito! Ou seja, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 3   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = 3   k m o l

A quantidade d ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 3 × 4   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 d '   k m o l de H dos produtos.

2 d ' = 3 × 4

d ' = 6   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b ' + d '   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b ' + d '

2 a ' = 2 × 3 + 6

a ' = 6   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 6 = 28,56   k m o l

Beleza, achamos o ar teórico n a r   t e ó r i c o ! Mas como isso pode nos ajudar a balancear a primeira equação do passo 1? Veremos isso no próximo passo!

Passo 3

A gente vai usar n a r   t e ó r i c o pra encontrar o coeficiente a ! Pra isso, nós temos que usar um dado muito importante que o enunciado nos deu! Ele disse que a combustão foi feita com 10 % de excesso de ar. Isso significa que foram usados 110   % de ar teórico na queima de C H 4 ! Com essa informação, somos capazes de achar a quantidade n a r de ar usado na combustão.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

110   % = n a r 28,56

n a r = 28,56 × 110 %

n a r = 28,56 × 1,1 = 31,416   k m o l

Agora que vem o pulo do gato! Vamos usar a fórmula de n a r pra achar o coeficiente a !

n a r = 4,76 a

a = n a r 4,76

a = 31,416 4,76 = 6,6   k m o l

Aeeee! Achamos o coeficiente a da equação que queremos balancear! Agora nos resta calcular os outros coeficientes no próximo passo!

Passo 4

Para a quantidade de C ficar balanceada, 3   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b   k m o l de C dos produtos. A equação da combustão se encontra abaixo pro balanceamento ficar mais claro.

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

b = 3   k m o l

Antes de achar o coeficiente e , precisamos calcular o coeficiente d através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 3 × 4   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 d   k m o l de H dos produtos.

2 d = 3 × 4

d = 6   k m o l

O coeficiente e pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 6,6 × 2   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d + 2 e   k m o l de O dos produtos.

6,6 × 2 = 2 b + d + 2 e

13,2 = 2 × 3 + 6 + 2 e

e = 0,6   k m o l

Por fim, achamos o coeficiente c do N 2 dos produtos, igualando os 6,6 × 3,76 × 2   k m o l de N dos reagentes com os 2 c   k m o l de N dos produtos.

2 c = 6,6 × 3,76 × 2

c = 24,816   k m o l

Substituindo os coeficientes na equação de combustão, encontramos a equação balanceada que o enunciado nos pediu!

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 3   C O 2 + 24,816   N 2 + 6   H 2 O + 0,6   O 2

Resposta

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 3   C O 2 + 24,816   N 2 + 6   H 2 O + 0,6   O 2

Exercício Resolvido #3

Em uma combustão, 2   k m o l n-octano C 8 H 18 é queimado com 30 % de excesso de ar. Determine a equação balanceada dessa combustão.

Passo 1

Oi, querid@s! Bora aprender a usar porcentagem de ar teórico através de um exercício?

O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é escrever a equação da reação. Pra isso, devemos conhecer os reagentes e produtos. No nosso caso, a questão disse que C 8 H 18 e ar seco reagem na combustão. Logo, C 8 H 18 , O 2 do ar e N 2 do ar são os reagentes. Os produtos são C O 2 , N 2 , H 2 O e O 2 , porque supomos a combustão completa. Veja a equação dela abaixo.

2   C 8 H 18 + a   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

a , b , c , d e e são os coeficientes estequiométricos da combustão do enunciado. Fazer o balanceamento da equação é a mesma coisa que achar o valor desses coeficientes.

No entanto, para calcular todos esses coeficientes, precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer 2   k m o l de C 8 H 18 passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

2   C 8 H 18 + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b ' C O 2 + c '   N 2 + d '   H 2 O

onde a ' , b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão sem excesso de ar.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade a ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 a ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

Vamos começar o exercício, calculando n a r   t e ó r i c o no próximo passo através do balanceamento dessa última equação de combustão!

Passo 2

Fazer o balanço da equação é a mesma coisa que fazer os elementos químicos do lado esquerdo terem a mesma quantidade de k m o l que dos elementos químicos do lado direito! Ou seja, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 2 × 8   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = 2 × 8 = 16   k m o l

A quantidade d ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 2 × 18   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 d '   k m o l de H dos produtos.

2 d ' = 2 × 18

d ' = 18   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b ' + d '   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b ' + d '

2 a ' = 2 × 16 + 18

a ' = 25   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 25 = 119   k m o l

Beleza, achamos o ar teórico n a r   t e ó r i c o ! Mas como isso pode nos ajudar a balancear a primeira equação do passo 1? Veremos isso no próximo passo!

Passo 3

A gente vai usar n a r   t e ó r i c o pra encontrar o coeficiente a ! Pra isso, nós temos que usar um dado muito importante que o enunciado nos deu! Ele disse que a combustão foi feita com 30 % de excesso de ar. Isso significa que foram usados 130   % de ar teórico na queima de C 8 H 18 ! Com essa informação, somos capazes de achar a quantidade n a r de ar usado na combustão.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

130   % = n a r 119

n a r = 119 × 130 %

n a r = 119 × 1,3 = 154,7   k m o l

Agora que vem o pulo do gato! Vamos usar a fórmula de n a r pra achar o coeficiente a !

n a r = 4,76 a

a = n a r 4,76

a = 154,7 4,76 = 32,5   k m o l

Aeeee! Achamos o coeficiente a da equação que queremos balancear! Agora nos resta calcular os outros coeficientes no próximo passo!

Passo 4

Para a quantidade de C ficar balanceada, 2 × 8   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b   k m o l de C dos produtos. A equação da combustão se encontra abaixo pro balanceamento ficar mais claro.

2   C 8 H 18 + 32,5   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

b = 2 × 8 = 16   k m o l

Antes de achar o coeficiente e , precisamos calcular o coeficiente d através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 2 × 18   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 d   k m o l de H dos produtos.

2 d = 2 × 18

d = 18   k m o l

O coeficiente e pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 32,5 × 2   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d + 2 e   k m o l de O dos produtos.

32,5 × 2 = 2 b + d + 2 e

65 = 2 × 16 + 18 + 2 e

e = 7,5   k m o l

Por fim, achamos o coeficiente c do N 2 dos produtos, igualando os 32,5 × 3,76 × 2   k m o l de N dos reagentes com os 2 c   k m o l de N dos produtos.

2 c = 32,5 × 3,76 × 2

c = 122,2   k m o l

Substituindo os coeficientes na equação de combustão, encontramos a equação balanceada que o enunciado nos pediu!

2   C 8 H 18 + 32,5   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 16   C O 2 + 122,2   N 2 + 18   H 2 O + 7,5   O 2

Resposta

2   C 8 H 18 + 32,5   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 16   C O 2 + 122,2   N 2 + 18   H 2 O + 7,5   O 2

Exercício Resolvido #4

Carbono C é queimado com ar seco. A análise volumétrica dos produtos é de 10,06 % de C O 2 , 0,42 % de C O , 10,69 % de O 2 e 78,83 % de N 2 . Determine (b) a porcentagem de ar teórico utilizado.

Passo 1

E aííí, fof@s! Indo direto ao ponto, o exercício quer que a gente calcule a quantidade n a r de k m o l de ar usado na combustão dividida pela quantidade n a r   t e ó r i c o de k m o l de ar teórico. Essa divisão é chamada de porcentagem de ar teórico e é calculada pela fórmula abaixo.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

n a r é encontrada a partir da equação da combustão que o enunciado cita. O enunciado diz que o carbono C reage com o O 2 e o N 2 do ar seco pra formar os seguintes produtos: C O 2 , C O , O 2 e N 2 . A equação de reação abaixo mostra os reagentes e produtos dessa combustão.

x   C + a O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   C O + e   O 2

onde x , a , b , c , d e e são os coeficientes estequiométricos da reação.

Como o ar seco é formado por O 2 e N 2 , achamos a quantidade n a r de k m o l de ar, somando a quantidade a de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 a de k m o l de N 2 .

n a r = a + 3,76 a = 4,76 a

n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer o carbono C passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

x   C + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b '   C O 2 + c '   N 2

onde b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão do enunciado.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade a ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 a ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

Vamos começar o exercício, balanceando a primeira equação de combustão e encontrando n a r !

Passo 2

O primeiro passo para balancear uma equação de combustão com a composição dos produtos conhecida é achar a quantidade de k m o l de cada componente dos produtos. Pra isso, supomos que 100   k m o l de produto é gerado na combustão. Assim, achamos a quantidade b de k m o l de C O 2 multiplicando os 100   k m o l de produto pelos 10,06   % de C O 2 .

b = 100 × 10,06 100 = 10,06   k m o l

Também somos capazes de achar a quantidade d de k m o l de C O , multiplicando os 100   k m o l de produto pelos 0,42   % de C O presente nos produtos secos.

d = 100 × 0,42 100 = 0,42   k m o l

Por fim, achamos os coeficientes c do N 2 e e do O 2 , multiplicando os 100   k m o l de produto pelas porcentagens desses gases nos produtos.

c = 100 × 78,83 100 = 78,83   k m o l

e = 100 × 10,69 100 = 10,69   k m o l

Pra quantidade de C ficar balanceada, os x   k m o l de C dos reagentes têm que ser iguais aos b + d   k m o l de C dos produtos. Observe a equação de combustão abaixo para visualizar melhor o balanceamento.

x   C + a O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   C O + e   O 2

x = b + d

x = 10,06 + 0,42 = 10,48   k m o l

O coeficiente a é encontrado através do balanço de oxigênio O . Os 2 a   k m o l de O dos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d + 2 e   k m o l de O dos produtos.

2 a = 2 b + d + 2 e

2 a = 2 × 10,06 + 0,42 + 2 × 10,69

a = 20 , 96   k m o l

Agora sim somos capazes de achar a quantidade n a r de ar teórico que queima os 10,48   k m o l de C completamente!

n a r = 4,76 a

n a r = 4,76 × 20 , 96

n a r = 99 , 7696   k m o l

Acharemos n a r   t e ó r i c o no próximo passo através do balanceamento dessa última equação de combustão!

Passo 3

Pra quantidade de carbono C ficar balanceada, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito.

x   C + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b '   C O 2 + c '   N 2

Por isso, x   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = x = 10,48   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b '   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b '

a ' = b '

a ' = 10,48   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 10,48 = 49 , 8848   k m o l

Substituindo n a r   t e ó r i c o e n a r na equação de porcentagem de ar teórico:

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

%   a r   t e ó r i c o = 99 , 7696 49 , 8848

%   a r   t e ó r i c o = 2 = 200 %

Beleza, achamos a porcentagem de ar teórico! Estamos de parabéns!

Resposta

%   a r   t e ó r i c o = 200 %

Exercício Resolvido #5

Uma mistura de combustível de 60 % em massa de metano C H 4 e 40 % em massa de etanol C 2 H 6 O é totalmente queimada com ar teórico. Considerando que o fluxo total do combustível é de 10   k g / s , determine o fluxo de ar necessário.

Passo 1

Fala, man@! Tudo belezinha? Sem enrolação, vamos tentar entender logo a questão!

O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é escrever a equação da reação. O enunciado diz que o combustível passa por uma combustão completa com ar teórico. Isso quer dizer que a reação é feita sem excesso de ar. Logo, apenas C O 2 , N 2 e H 2 O são os produtos. Como o ar é feito de O 2 e N 2 , os reagentes são C H 4 , C 2 H 6 O , O 2 e N 2 . A equação da reação é:

a   C H 4 + b   C 2 H 6 O + c   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ d   C O 2 + e   N 2 + f   H 2 O

onde a , b , c , d , e e f são os coeficientes estequiométricos da combustão.

O enunciado quer que a gente calcule o fluxo de ar m ˙ a r (massa de ar que é usada na combustão a cada segundo), mas para achar m ˙ a r , precisamos achar a quantidade de k m o l de ar que é usada a cada segundo n ˙ a r . n ˙ a r é encontrada, através da fórmula abaixo.

n ˙ a r = 4,76 c

Pra gente converter n ˙ a r pro fluxo m ˙ a r , basta multiplicar n ˙ a r pela massa molar M a r do ar. Essa massa molar pode ser encontrada em tabelas de gases ideais de livros. Ela vale 28,97   k g / k m o l . Agora que sabemos tudo isso, vamos começar a calcular n ˙ a r , balanceando a equação de combustão!

Passo 2

O primeiro passo para fazer o balanço de uma equação, quando o enunciado nos dá as composições dos produtos e do combustível, é determinar os coeficientes de cada componente do combustível. Os coeficientes são encontrados, calculando os fluxos de cada componente.

Calcularemos a , achando o fluxo m ˙ C H 4   de C H 4 presente no combustível. Encontramos m ˙ C H 4 multiplicando os 10   k g / s de combustível pelos 60   % de C H 4 no combustível.

m ˙ C H 4 = 60 100 × 10 = 6   k g / s

Da mesma forma, achamos o fluxo m ˙ C 2 H 6 O de C 2 H 6 O , multiplicando 10   k g / s pelos 40 % de C 2 H 6 O no combustível.

m ˙ C 2 H 6 O = 40 100 × 10 = 4   k g / s

Agora, para achar a quantidade a de k m o l de C H 4 nos reagentes, dividimos m ˙ C H 4 pela massa molar M C H 4 do metano que vale 16,04   k g / k m o l segundo tabelas de gases ideais de livros.

a = m ˙ C H 4 M C H 4 = 6 16,04 = 0,3741   k m o l / s

b é encontrado, dividindo m ˙ C 2 H 6 O pela massa molar M C 2 H 6 O do etanol que vale 46,069   k g / k m o l segundo as tabelas termodinâmicas de gases.

b = m ˙ C 2 H 6 O M C 2 H 6 O = 4 46,069 = 0,0868   k m o l / s

Substituindo o valor desses coeficientes calculados na equação de combustão:

0,3741   C H 4 + 0,0868   C 2 H 6 O + c   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ d   C O 2 + e   N 2 + f   H 2 O

Com esses coeficientes já somos capazes de achar os coeficientes restantes!

Passo 3

Achamos o coeficiente d , fazendo o balanço do carbono C . Para a quantidade de carbono C ficar balanceada, os 0,3741 + 0,0868 × 2   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a d   k m o l de C dos produtos.

d = 0,3741 + 0,0868 × 2 = 0,5477   k m o l

A quantidade f de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 0,3741 × 4 + 0,0868 × 6   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 f   k m o l de H dos produtos.

2 f = 0,3741 × 4 + 0,0868 × 6

f = 1,0086   k m o l

O coeficiente c pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 0,0868 + 2 c   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 d + f   k m o l de O dos produtos.

0,0868 + 2 c = 2 d + f

0,0868 + 2 c = 2 × 0,5477 + 1,0086

c = 1,0086   k m o l

Substituindo c na fórmula de n ˙ a r :

n ˙ a r = 4,76 c

n ˙ a r = 4,76 × 1,0086 = 4,8009   k m o l / s

Multiplicando n ˙ a r por M a r , achamos o fluxo de ar m ˙ a r que o enunciado pediu!

m ˙ a r = n ˙ a r M a r

m ˙ a r = 4,8009 × 28,97

m ˙ a r = 139,08   k g / s

Boooooooa, garot@! Achamos a resposta!!

Resposta

m ˙ a r = 139,08   k g / s

Exercício Resolvido #6

Um combustível gasoso com análise volumétrica de 45 % de C H 4 , 35 % de H 2 e 20 % de N 2 é queimado completamente com 130 % de ar teórico. Determine (b) a fração de vapor de água que condensaria caso os gases do produto fossem resfriados a 25 ° C e 1   a t m .

Passo 1

Fala, gente! Vamos começar sem enrolação! O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é entender quais são os reagentes e os produtos. O enunciado diz que C H 4 , H 2 e N 2 reagem com o ar que é formado por O 2 e N 2 . Logo, O 2 , N 2 , C H 4 e H 2 são os reagentes. Como é dito que a combustão é completa com excesso de ar, O 2 , C O 2 , H 2 O e N 2 são produtos.

a   C H 4 + b   H 2 + c   N 2 + d O 2 + 3,76   N 2 ⟶ e   C O 2 + f   H 2 O + g   N 2 + h   O 2

onde a , b , c , d , e , f , g , h são os coeficientes estequiométricos da reação.

Pra achar a fração de vapor de água condensada y H 2 O l , temos que encontrar a quantidade total f de k m o l de H 2 O no produto. A fração y H 2 O l é igual a quantidade de água condensada n c o n d dividida pela quantidade total f de k m o l de água.

y H 2 O l = n c o n d f

No próximo passo, vamos começar nosso caminho pra encontrar f .

Passo 2

O primeiro passo para fazer o balanço de uma equação com combustível misturado é determinar a quantidade de k m o l dos componentes que formam o combustível. Ou seja, temos que achar a de k m o l de C H 4 , a quantidade b de k m o l de H 2 e a quantidade c de k m o l de N 2 presentes dentro da mistura combustível. Ouçam bem essa dica que estou dando!

Achamos a quantidade a de k m o l de C H 4 , supondo que 1   k m o l de combustível é queimado. A quantidade real de combustível queimado não vai interferir no cálculo de y H 2 O l , então podemos assumir o valor que quisermos. Calculamos a , multiplicando os 1   k m o l de combustível pelos 45   % de C H 4 no combustível.

a = 45 100 × 1 = 0,45   k m o l

Da mesma forma, achamos a quantidade c de k m o l de N 2 , multiplicando os 1   k m o l pelos 2 0   % de N 2 no combustível. A quantidade b de k m o l de H 2 é encontrada, multiplicando os 1   k m o l pelos 35   % de H 2 no combustível!

c = 20 100 × 1 = 0,2   k m o l

b = 35 100 × 1 = 0,35   k m o l

Substituindo essas informações na equação química de combustão, encontramos a seguinte reação.

0,45   C H 4 + 0 , 3 5   H 2 + 0,2   N 2 + d   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ e   C O 2 + f   H 2 O + g   N 2 + h   O 2

Agora, vamos aprender a encontrar o coeficiente d nos próximos passos, usando a porcentagem de ar teórico que o enunciado informa!

Passo 3

Para calcular d , precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer 1   k m o l de combustível passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

0,45   C H 4 + 0,35   H 2 + 0,2   N 2 + d '   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ e '   C O 2 + f '   H 2 O + g '   N 2

onde d ' , e ' , f ' e g ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão sem excesso de ar.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade d ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 d ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 d '

Vamos calcular n a r   t e ó r i c o através do balanceamento dessa equação de combustão!

Pra quantidade de carbono C ficar balanceada, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 0,45   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a e '   k m o l de C dos produtos.

e ' = 0,45   k m o l

A quantidade f ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 0,45 × 4 + 0,35 × 2   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 f '   k m o l de H dos produtos.

2 f ' = 0,45 × 4 + 0,35 × 2

f ' = 1,25   k m o l

O coeficiente d ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 d '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 e ' + f '   k m o l de O dos produtos.

2 d ' = 2 e ' + f '

2 d ' = 2 × 0,45 + 1,25

d ' = 1 , 075   k m o l

Substituindo d ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 d '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 1 , 075 = 5 , 117   k m o l

Beleza, achamos o ar teórico n a r   t e ó r i c o ! Pra usar n a r   t e ó r i c o e encontrar o coeficiente d , nós temos que usar um dado importante da questão! Veremos isso no próximo passo!

Passo 4

A questão nos informou que a combustão foi feita com 130 % de ar teórico. Com essa informação, somos capazes de achar a quantidade n a r de ar usado na combustão.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

130   % = n a r 5 , 117

n a r = 5 , 117 × 130 %

n a r = 5 , 117 × 1,3 = 6 , 6521   k m o l

Agora que vem o pulo do gato! Vamos usar a fórmula de n a r pra achar o coeficiente d !

n a r = 4,76 d

d = n a r 4,76

d = 6 , 6521 4,76 = 1 , 3975   k m o l

Aeeee! Achamos o coeficiente d da equação que queremos balancear! Agora nos resta calcular os outros coeficientes no próximo passo!

Passo 5

Substituindo o coeficiente d na equação de combustão, encontramos:

0,45   C H 4 + 0,35   H 2 + 0,2   N 2 + 1 , 3975   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ e   C O 2 + f   H 2 O + g   N 2 + h   O 2

Achamos o coeficiente e , balanceando a quantidade de carbono C dessa equação. Para a quantidade de C ficar balanceada, 0,45     k m o l de C dos reagentes deve ser igual a e   k m o l de C dos produtos.

e = 0,45   k m o l

Calculamos o coeficiente f através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 0,45 × 4 + 0,35 × 2   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 f   k m o l de H dos produtos.

2 f = 0,45 × 4 + 0,35 × 2

f = 1,25   k m o l

Eba! Já achamos um dos termos que precisamos pra calcular y H 2 O l ! Mas vamos continuar a achar os coeficientes, porque eles serão importantes no futuro!

Balanceando a quantidade de nitrogênio N , conseguimos achar o coeficiente g . Os 1 , 3975 × 3,76   k m o l de N 2 dos reagentes devem ser iguais aos g   k m o l de N 2 dos produtos.

g = 1 , 3975 × 3,76 = 5 , 2546   k m o l

Com o balnço de oxigênio O , achamos o último coeficiente h . Os 1 , 3975 × 2   k m o l de O dos reagentes devem ser iguais aos 2 e + f + 2 h   k m o l de O dos produtos.

1 , 3975 × 2 = 2 e + f + 2 h

1 , 3975 × 2 = 2 × 0,45 + 1,25 + 2 h

h = 1 , 5725   k m o l

Agora só resta achar n c o n d no próximo passo pra poder cacular y H 2 O l !

Passo 6

Quando o vapor d’água do produto começa a condensar a 25   ° C , sua pressão parcial P H 2 O v fica igual à pressão de saturação da água a 25   ° C . Essa pressão pode ser encontrada na tabela termodinâmica de saturação da água como mostrado abaixo.

P H 2 O v = 3,1691   k P a

Se a gente dividir essa pressão parcial do vapor que está começando a condensar pela pressão total dos produtos P t o t = 1   a t m = 101,325   k P a , acharemos a fração y H 2 O de água no produto!

y H 2 O = P H 2 O v P t o t

y H 2 O = 3,1691 101,325

y H 2 O = 0,03128

Cuidado! Não confunda y H 2 O com y H 2 O l ! Calcular y H 2 O vai ser fundamental pra achar n c o n d e y H 2 O l . Existe outra forma de calcular a fração molar y H 2 O do vapor d’água nos produtos. Pra isso, nós dividimos a quantidade n v de k m o l de vapor d’água que ainda não foi condensada pela quantidade total n t o t   v de produtos que ainda não foram condensados.

y H 2 O = n v n t o t   v

A quantidade n v de k m o l de vapor d’água que ainda não foi condensada é igual à quantidade total f de água nos produtos menos a quantidade de vapor que foi condensada n c o n d .

Já a quantidade total n t o t   v de k m o l dos produtos que ainda não foram condensados é igual à quantidade total de produtos (soma de todos os coeficientes dos produtos) menos n c o n d .

y H 2 O = f - n c o n d e + f + g + h - n c o n d

Susbtituindo os dados que temos:

0,03128 = 1,25 - n c o n d 0,45 + 1,25 + 5 , 2546 + 1 , 5725 - n c o n d

Reorganizando essa equação, achamos o valor de n c o n d .

n c o n d = 1 , 015   k m o l

Substituindo esse valor na fórmula de y H 2 O l , achamos:

y H 2 O l = n c o n d f

y H 2 O l = 1 , 015 1,25

y H 2 O l = 0 , 812

Prooooonto! Chegamos ao final desse exercício! Esse deu trabalho, né?

Resposta

y H 2 O l = 0 , 812

Exercício Resolvido #7

10   k g de um carvão com análise final (em massa) corresponde a 67,40 % de C , 5,31 % de H 2 , 15,11 % de O 2 , 1,44 % de N 2 , 2,36 % de S e 8,38 % de cinzas não combustíveis é queimado completamente com 20 % de excesso de ar. Determine a equação balanceada dessa combustão.

Passo 1

Fala! Tudo bem com você? Vamos treinar um pouco seus conhecimentos de combustão?

O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é escrever a equação da reação. O enunciado diz que o combustível passa por uma combustão completa com excesso de ar. Logo, C O 2 , N 2 , H 2 O e O 2 são os produtos. A questão também diz que C , H 2 , O 2 , N 2 e S reagem com o O 2 e o N 2 do ar. C , H 2 , O 2 , N 2 e S são os reagentes. Sabendo disso, escrevemos a equação:

a   C + b   H 2 + c   O 2 + d   N 2 + e   S + f O 2 + 3,76   N 2 ⟶ g   C O 2 + h   N 2 + i   H 2 O + j   S O 2 + k O 2

a , b , c , d , e , f , g , h , i , j e k são os coeficientes estequiométricos da equação química!

As cinzas não estão nessa equação, porque não participam da reação!

Fazer o balanceamento da equação é a mesma coisa que achar o valor desses coeficientes.

No entanto, para calcular todos esses coeficientes, precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer 10   k g do combustível passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

a   C + b   H 2 + c   O 2 + d   N 2 + e   S + f ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ g '   C O 2 + h '   N 2 + i '   H 2 O + j '   S O 2

onde f ' , g ' , h ' , i ' , j ' e k ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão sem excesso de ar.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade f ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 f ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 f '

Vamos começar o exercício, calculando os coeficientes a , b , c , d e e dos combustíveis no próximo passo.

Passo 2

O primeiro passo para fazer o balanço de uma equação, quando o enunciado nos dá as composições dos produtos e do combustível, é determinar os coeficientes de cada componente do combustível.

Calcularemos a , lembrando que 10   k g de combustível é queimado. Pra isso, achamos primeiro a massa m C de C multiplicando 10   k g pelos 67,40   % de C no combustível.

m C = 67,40 100 × 10 = 6,74   k g

Da mesma forma, achamos a massa m H 2 de H 2 , multiplicando 10   k g pelos 5,31   % de H 2 no combustível. A massa m O 2 de O 2 é encontrada, multiplicando 10   k g pelos 15,11   % de O 2 .

m H 2 = 5,31 100 × 10 = 0 , 531   k g

m O 2 = 15,11 100 × 10 = 1,511   k g

Fazemos o mesmo com N 2 e S . Suas massas m N 2 e m S são calculadas, multiplicando a massa de 10   k g do combustível todo pelas suas porcentagens mássicas dadas pelo enunciado.

m N 2 = 1,44 100 × 10 = 0,0 144   k g

m S = 2,36 100 × 10 = 0,0 236   k g

Agora, para achar a quantidade a de k m o l de C nos reagentes, dividimos m C pela massa molar M C do carbono que vale 12   k g / k m o l .

a = m C M C = 6,74 12 = 0 , 56167   k m o l

b é encontrado, dividindo m H 2 pela massa molar M H 2 do hidrogênio que vale 2,016   k g / k m o l segundo as tabelas termodinâmicas de gases.

b = m H 2 M H 2 = 0 , 531 2,016 = 0 , 26339   k m o l

Encontramos a quantidade c de k m o l de O 2 presente no combustível, dividindo m O 2 pela massa molar M O 2 do O 2 que vale 31,999   k g / k m o l .

c = m O 2 M O 2 = 1,511 31,999 = 0 , 04722   k m o l

Por fim, achamos d e e , dividindo m N 2 e m S pelas massas molares de N 2 M N 2 = 28,013   k g / k m o l e de S M S = 32,065   k g / k m o l .

d = m N 2 M N 2 = 0,0 144 28,013 = 0 , 00051   k m o l

e = m S M S = 0,0 236 32,065 = 0,00074   k m o l

Agora, vamos aprender a encontrar o coeficiente d nos próximos passos, usando a porcentagem de ar teórico que o enunciado informa!

Passo 3

Para calcular f , precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer os 1 0   k g de combustível passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

a   C + b   H 2 + c   O 2 + d   N 2 + e   S + f ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ g '   C O 2 + h '   N 2 + i '   H 2 O + j '   S O 2

Vamos calcular n a r   t e ó r i c o através do balanceamento dessa equação de combustão!

Pra quantidade de carbono C ficar balanceada, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, a   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a g '   k m o l de C dos produtos.

g ' = a = 0,56167   k m o l

A quantidade i ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 2 b   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 i '   k m o l de H dos produtos.

2 i ' = 2 b

i ' = b = 0 , 26339   k m o l

j ' é encontrado através do balanço de S . Os e   k m o l de S dos reagentes precisam ser iguais aos j '   k m o l de S dos produtos.

j ' = e = 0,00074   k m o l

O coeficiente f ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O . Pra isso, os 2 f ' + 2 c   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 g ' + i ' + 2 j '   k m o l de O dos produtos.

2 f ' + 2 c = 2 g ' + i ' + 2 j '

2 f ' + 2 × 0 , 04722 = 2 × 0,56167 + 0 , 26339 + 2 × 0,00074

f ' = 0,64689   k m o l

Substituindo f ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 f '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 0,64689 = 3,07920   k m o l

Beleza, achamos o ar teórico n a r   t e ó r i c o ! Pra usar n a r   t e ó r i c o e encontrar o coeficiente f , nós temos que usar um dado importante da questão! Veremos isso no próximo passo!

Passo 4

A questão nos informou que a combustão foi feita com 12 0 % de ar teórico. Com essa informação, somos capazes de achar a quantidade n a r de ar usado na combustão.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

12 0   % = n a r 3,07920

n a r = 3,07920 × 12 0 %

n a r = 3,07920 × 1,2 = 3 , 69504   k m o l

Agora que vem o pulo do gato! Vamos usar a fórmula de n a r pra achar o coeficiente f !

n a r = 4,76 f

f = n a r 4,76

f = 3 , 69504 4,76 = 0,77627   k m o l

Aeeee! Achamos o coeficiente f da equação que queremos balancear! Agora nos resta calcular os outros coeficientes no próximo passo!

Passo 5

Só falta achar os coeficientes g , h , i , j e k dos produtos. Achamos g , fazendo o balanceamento de C . Pra quantidade de carbono C ficar balanceada, , a   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a g   k m o l de C dos produtos.

g = a = 0,56167   k m o l

A quantidade i de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 2 b   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 i   k m o l de H dos produtos.

2 i = 2 b

i = b = 0 , 26339   k m o l

j é encontrado através do balanço de S . Os e   k m o l de S dos reagentes precisam ser iguais aos j   k m o l de S dos produtos.

j = e = 0,00074   k m o l

j é encontrado pelo balanço de N 2 . Os d + 3,76 f   k m o l de N 2 dos reagentes são iguais aos h   k m o l de N 2 dos produtos.

h = d + 3,76 f

h = 0 , 00051 + 3,76 × 0,77627

h = 2 , 9192852   k m o l

Por fim, achamos k , balanceando a quantidade de oxigênio O . Pra quantidade de O ficar balanceada, os 2 f + 2 c   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 g + i + 2 j + 2 k   k m o l de O dos produtos.

2 f + 2 c = 2 g + i + 2 j + 2 k

2 × 0,77627 + 2 × 0 , 04722 = 2 × 0,56167 + 0 , 26339 + 2 × 0,00074 + 2 k

k = 0 , 129385   k m o l

Aeeee! Achamos todos os coeficientes! Suamos, choramos, mas conseguimos!

Resposta

a = 0,56167   k m o l

b = 0 , 26339   k m o l

c = 0 , 04722   k m o l

d = 0 , 00051   k m o l

e = 0,00074   k m o l

f = 0,77627   k m o l

g = 0,56167   k m o l

h = 2 , 9192852   k m o l

i = 0 , 26339   k m o l

j = 0,00074   k m o l

k = 0 , 129385   k m o l

Exercício Resolvido #8

Uma amostra seca de carvão apresenta a seguinte análise mássica de: 71,1   % de carbono C , 5,1   % de hidrogênio H 2 , 9,0   % de oxigênio O 2 , 1,4   % de nitrogênio N 2 , 5,8   % de enxofre S e o restante de cinzas não combustíveis.

Admita que a amostra deste carvão é queimada com ar seco, gerando produtos com análise molar seca de 18,0837   % de C O 2 , 81,3639 % de N 2 e 0,0052 % de S O 2 .

Determine a porcentagem de ar teórico dessa combustão.

Passo 1

Oie, galera! Esse enunciado é cheio de informação, né? Então vamos entender primeiro quais são os reagentes e produtos dessa combustão. Esse é sempre um bom início! Então partiu começar a questão!

O enuciado diz que C , H 2 , O 2 , N 2 e S reagem com ar seco que é composto por uma parte de O 2 e 3,76 partes de N 2 . Como essas moléculas reagem, elas são os reagentes, certo?

O enunciado também diz que C O 2 , N 2 , H 2 O e S O 2 são produzidos pela reação. Logo, essas moléculas são os produtos. Colocando os reagentes na esquerda e produtos na direita:

a   C + b   H 2 + c   O 2 + d   N 2 + e   S + f O 2 + 3,76   N 2 ⟶ g   C O 2 + h   N 2 + i   H 2 O + j   S O 2

a , b , c , d , e , f , g , h , i e j são os coeficientes estequiométricos da equação química!

As cinzas não estão nessa equação, porque não participam da reação!

Esses coeficientes estequiométricos precisam ser encontrados para encontrarmos a porcentagem de ar teórico que o enunciado pede. A fórmula dessa porcentagem é:

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

n a r é a quantidade de k m o l de ar usado na combustão e n a r   t e ó r i c o é a quantidade de k m o l de ar teórico.   n a r é encontrada a partir da equação da combustão que o enunciado cita.

Vamos começar a fazer as contas, calculando a , b , c , d e e . Esses coeficientes serão importantes pra achar n a r e n a r   t e ó r i c o .

Passo 2

Pra achar a , b , c , d e e , temos que fazer o balanço da equação de combustão. O primeiro passo para fazer o balanço de uma equação, quando o enunciado nos dá as composições dos produtos e do combustível, é determinar os coeficientes de cada componente do combustível.

Calcularemos a , supondo que 100   k g de combustível é queimado. Pra isso, achamos primeiro a massa m C de C multiplicando 100   k g pelos 71,1   % de C no combustível.

m C = 71,1 100 × 100 = 71,1   k g

Da mesma forma, achamos a massa m H 2 de H 2 , multiplicando 100   k g pelos 5,1   % de H 2 no combustível. A massa m O 2 de O 2 é encontrada, multiplicando 100   k g pelos 9,0   % de O 2 .

m H 2 = 5,1 100 × 100 = 5,1   k g

m O 2 = 9,0 100 × 100 = 9,0   k g

Fazemos o mesmo com N 2 e S . Suas massas m N 2 e m S são calculadas, multiplicando a massa de 100   k g do combustível todo pelas suas porcentagens mássicas dadas pelo enunciado.

m N 2 = 1,4 100 × 100 = 1,4   k g

m S = 5,8 100 × 100 = 5,8   k g

Nós calculamos as massas pro caso de 100   k g de combustível serem queimados, mas poderia ser qualquer quantidade de combustível! Esse valor não interfere no cálculo do ar teórico!

Agora, para achar a quantidade a de k m o l de C nos reagentes, dividimos m C pela massa molar M C do carbono que vale 12   k g / k m o l .

a = m C M C = 71,1 12 = 5,925   k m o l

b é encontrado, dividindo m H 2 pela massa molar M H 2 do hidrogênio que vale 2,016   k g / k m o l segundo as tabelas termodinâmicas de gases.

b = m H 2 M H 2 = 5,1 2,016 = 2,530   k m o l

Encontramos a quantidade c de k m o l de O 2 presente no combustível, dividindo m O 2 pela massa molar M O 2 do O 2 que vale 31,999   k g / k m o l .

c = m O 2 M O 2 = 9,0 31,999 = 0,281   k m o l

Por fim, achamos d e e , dividindo m N 2 e m S pelas massas molares de N 2 M N 2 = 28,013   k g / k m o l e de S M S = 32,065   k g / k m o l .

d = m N 2 M N 2 = 1,4 28,013 = 0,050   k m o l

e = m S M S = 5,8 32,065 = 0,181   k m o l

Com esses coeficientes já somos capazes de achar os coeficientes restantes!

Passo 3

Para achar os coeficientes dos produtos, consideramos que 100   k g de combustível gera uma quantidade desconhecida x de produtos.

Dessa forma, achamos o coeficiente g do C O 2 , multiplicando x pelos 18,0837 % de C O 2 .

g = 18,0837 100 × x = 0,180837 x

O coeficiente h de N 2 é encontrado de forma bem parecida! Pra encontrar h , multiplicamos a quantidade x de produtos secos pela porcentagem 81,3639 % de N 2 presente nos produtos secos!

h = 81,3639 100 × x = 0,813639 x

Por fim, encontramos o coeficiente j de S O 2 , multiplicando os x   k m o l de produtos secos pela porcentagem 0,0052   % de S O 2 presente nesses produtos.

j = 0,0052 100 × x = 0,000052 x

Agora, falta achar x e os coeficientes estequiométricos c e g que faltam no próximo passo.

Passo 4

Pra achar o valor x de produtos secos gerados na combustão de 100   k g de combustível, balanceamos a quantidade de carbono C da equação abaixo. A equação abaixo mostra os coeficientes já calculados. Como d , e e f estão em função de x , colocamos o x em evidência!

Pra balancear C , os a   k m o l de C presentes presente nos reagentes precisam ser iguais aos 0,180837 x   k m o l de C dos produtos. Logo:

a = 0,180837 x

5,925 = 0,180837 x

x = 32,764   k m o l

Agora resta achar f e i !

Pra achar i , fazemos o balanço do hidrogênio H . Esse balanço nos diz que a quantidade 2 b de k m o l de H dos reagentes deve ser igual à quantidade 2 i de k m o l dos produtos!

2 b = 2 i

2 × 2,530 = 2 i

i = 2,530   k m o l

Calcularemos o coeficiente f , usando o balanço de oxigênio O !

O balanço de oxigênio O diz que 2 c + 2 f   k m o l de O dos reagentes devem ser iguais a 2 × 0,180837 x + 2 × 0,000052 x + i   k m o l de O presente nos produtos.

2 c + 2 f = 2 × 0,180837 x + 2 × 0,000052 x + i

2 × 0,281 + 2 f = 2 × 0,180837 × 32,764 + 2 × 0,000052 × 32,764 + 2,530

f = 6,9106   k m o l

Agora sim estamos aptos a calcular n a r ! Vamos aprender a calcular n a r e n a r   t e ó r i c o no próximo passo.

Passo 5

Como o ar seco é formado por O 2 e N 2 , achamos a quantidade n a r de k m o l de ar, somando a quantidade f de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 f de k m o l de N 2 .

n a r = f + 3,76 f

n a r = 4,76 f

n a r = 4,76 × 6,9106 = 32 , 894   k m o l

Como n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer o carbono C passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

a   C + b   H 2 + c   O 2 + d   N 2 + e   S + f ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ g '   C O 2 + h '   N 2 + i '   H 2 O + j '   S O 2

onde f ' , g ' , h ' , i ' , j ' e k ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão sem excesso de ar.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade f ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 f ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 f '

Vamos começar a achar esses coeficientes pra encontrar n a r   t e ó r i c o no próximo passo.

Passo 6

Pra quantidade de carbono C ficar balanceada, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, a   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a g '   k m o l de C dos produtos.

g ' = a = 5,925   k m o l

A quantidade i ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 2 b   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 i '   k m o l de H dos produtos.

2 i ' = 2 b

i ' = b = 2,530   k m o l

j ' é encontrado através do balanço de S . Os e   k m o l de S dos reagentes precisam ser iguais aos j '   k m o l de S dos produtos.

j ' = e = 0,181   k m o l

O coeficiente f ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O . Pra isso, os 2 f ' + 2 c   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 g ' + i ' + 2 j '   k m o l de O dos produtos.

2 f ' + 2 c = 2 g ' + i ' + 2 j '

2 f ' + 2 × 0,281 = 2 × 5,925 + 2,530 + 2 × 0,181

f ' = 7,09   k m o l

Substituindo f ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 f '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 7,09 = 33,748   k m o l

Susbtituindo n a r e n a r   t e ó r i c o na fórmula de porcentagem de ar teórico:

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

%   a r   t e ó r i c o = 32 , 894 33,748

%   a r   t e ó r i c o = 0 , 97 5 = 97,5   %

Que coisa boa! Já chegamos ao final desse exercício! Tudo que é bom passa rápido, né?

Resposta

%   a r   t e ó r i c o = 97,5   %

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