Exercícios de Autovalores e Autovetores de uma TL - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:
Questão 2
Se e são valores próprios de um operador linear associados aos vetores próprios e , respectivamente, determinar
Ver solução completaQuestão 3
Se é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores satisfaz:
Se e são autovetores associados respectivamente aos autovalores e com , então e são ortogonais.
- Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.
- Prove que dita afirmação é verdadeira.
Questão 4
Mostre que dois autovetores associados a autovalores diferentes são linearmente independentes.
Dica: suponha que não sejam linearmente independentes e tente chegar a alguma contradição.
Ver solução completaQuestão 5
Sejam uma base de e a transformação linear tal que:
Encontre
Encontre o polinômio característico de
Encontre os autovalores de
Encontre os autovetores de
Ver solução completaQuestão 6
Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
Calcular
Qual a matriz do operador na base ?
Ver solução completaQuestão 7
Suponha que é autovalor de invertível e autovalor de com mesmo autovetor .
Determine o autovalor associado ao autovetor de:
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Questão 8
5. Os autovalores de uma transformação linear de em são . Assinale a alternativa VERDADEIRA:
(a) A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é dois
(b) A transformação linear é, com certeza, diagonalizável.
(c) Podemos encontrar, pelo menos, três autovetores linearmente independentes.
(d) A dimensão do núcleo da transformação linear é zero
(e) Não sei.
Ver solução completaQuestão 9
Considere com o produto interno usual. Sejam , e considere o operador linear definido por
Para todo . Se T é simétrico, então o produto dos autovalores de T é igual a
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Questão 10
02) Considere munido do produto interno usual. Se é o operador linear simétrico que tem como autovalor e que satisfaz , então a soma dos elementos na segunda coluna de é:
A)
B)
C)
D)
E)
Ver solução completaQuestão 11
09) Seja um operador linear do espaço vetorial complexo tal que .
Sabendo que possui autovalores distintos e que é um autovetor de , qual dos seguintes vetores de certamente não é um autovetor de
A)
B)
C)
D)
E)
Ver solução completaQuestão 12
Seja o espaço formado pelas combinações lineares das funções . Considere a transformação linear que a cada função em associa a derivada dessa função. Então:
tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores
tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores
tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores
tem autovalores complexos
Ver solução completaQuestão 13
Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(c) Seja uma transformação linear. Se , então é autovalor de T.
Ver solução completaQuestão 14
Considere a transformação linear dada por
E denote e .
Agora considere . Note que é uma base de e sejam as coordenadas de na base .
Escreva a matriz em função de .
Calcule o polinômio característico de . (Pode deixar em função dos .)
Determine em função dos um polinômio , tal que .
(Dica: observe que .)
Ver solução completaQuestão 15
No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .
Mostre que se é positiva definida e se é autovalor de , então .
Verdadeiro ou falso: Toda transformação linear positiva definida é inversível.
Ver solução completaQuestão 16
Seja uma transformação linear. Assinale a alternativa VERDADEIRA:
nunca pode ser um autovetor de
sempre é um autovetor de
nunca pode ser autovalor de
sempre é um autovalor de
Ver solução completaQuestão 17
Seja um operador linear cuja matriz, em relação à base canônica de , é simétrica e cujo polinômio característico é . Sabendo que , é correto afirmar que é igual a:
Escolha uma opção:
Questão 18
Se é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores satisfaz:
Se e são autovetores associados respectivamente aos autovalores e com , então e são ortogonais.
Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.
Prove que dita afirmação é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 19
Sejam o espaço vetorial das funções e o operador derivada. Seja , onde é a transformação identidade. Assinale uma função que é autovetor de :
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Questão 20
A matriz
- Possui três direções de autovetores.
- Possui apenas duas direções de autovetores.
- Não possui autovetores.
- Possui apenas uma direção de autovetores.
Questão 21
Sejam e matrizes quaisquer, e , respectivamente. Assinale a alternativa correta:
- possui um autovetor em .
- possui um autovetor em .
- Existe uma base de formada por autovetores de .
- Existe uma base de formada por autovetores de .
Questão 22
QUESTÃO EXTRA
Seja , , uma matriz com autovetores , e , respectivamente associados aos autovalores e . Seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e . Analogamente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e e, finalmente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e :
- Se , então
- Se , então
- Se , então
- Apenas III é verdadeira.
- Apenas I é falsa.
- Apenas I é verdadeira.
- Apenas II é falsa.
- Apenas III é falsa.
- Apenas II é verdadeira.
Questão 23
Considere a base ortonormal de
Os vetores estão escritos na canônica.
- Considere o vetor cujas coordenadas na base canônica são . Determine a primeira coordenada do vetor na base .
- Determine explicitamente a matriz na base canônica.
- Determine uma base de formada por autovetores da transformação linear (escritos na base canônica).
- Seja a matriz da transformação linear na base canônica. Determine todos os autovalores da matriz .
Considere as transformações lineares
Cujas matrizes na base são, respectivamente:
Questão 24
Seja uma matriz simétrica com autovetores e , associados respectivamente aos autovalores e . Seja , com e ambos não nulos e positivos; e seja . Assinale a alternativa verdadeira:
- é negativo e é, aproximadamente, o triplo de
- é negativo e é, aproximadamente, o triplo de
- é positivo e é, aproximadamente, o triplo de
- é positivo e é, aproximadamente, o triplo de
Questão 25
Seja uma matriz e sejam e autovalores distintos de . Se e são autovetores de associados ao autovalor , qual dos vetores abaixo pode ser um autovetor de associado a .
Questão 26
Considere as bases de :
E a transformação linear cuja matriz na base é
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base canônica para a base .
- Sabendo que a mariz mudança de base da base canônica para a base é:
- Determine explicitamente a matriz da transformação linear na base .
- Escreva, se possível, uma forma diagonal de .
Determine explicitamente a matriz de mudança de ase da base para a base .
Questão 27
Questão Extra.
Seja uma matriz com e seja um vetor de . Considere as afirmativas:
- Se , então é autovetor de .
- Se , então é autovetor de .
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Questão 28
Seja um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, e seja um operador linear diagonalizável cujos autovalores, listados sem repetição, são . Para cada , seja , em que denota o operador identidade de . Considere as seguintes afirmações:
- Se para todos e distintos e todos e valer , então é simétrico.
- A união de bases ortonormais dos subespaços para é uma base ortonormal de .
- Se a matriz de , em relação a alguma base de , for simétrica, então é um operador simétrico.
Então,
Escolha uma opção:
- Apenas 1 e 2 são verdadeiras
- Apenas 1 é verdadeira
- Apenas 2 é verdadeira
- 1, 2 e 3 são verdadeiras
- 1, 2 e 3 são falsas
- Apenas 3 é verdadeira
- Apenas 1 e 3 são verdadeiras
- Apenas 2 e 3 são verdadeiras
Questão 29
Seja um operador linear cuja matriz na base canônica é .
Determine a condição sobre para que o operador admita apenas um autovalor real.
Considere . Encontre os autovalores de . E para cada autovalor encontre uma base para o autoespaço associado .
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Considere a transformação satisfazendo , e . Assinale a soma dos elementos da diagonal da matriz de na base canônica.
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Questão 31
Seja uma matriz real e suponha quesejam raízes do polinômio característico de . Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:
(a) é um autovalor de;
(b) possui um autovalor complexo com multiplicidade geométrica igual a ;
(c) não possui autovalores reais;
(d) é diagonalizável sobre ;
(e) não é diagonalizável sobre .
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Uma transformação linear é tal que seus autovalores são 0, 1 e 2. Assinale a Dimensão do Núcleo de
(a)
(b)
(c) 1
(d)2
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Seja uma reflexão em relação a uma reta. Sabendo-se que é um autovetor associado ao autovalor 1, é dada por:
(a)
(b)
(c)
(d)
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Seja R : R³ → R³ a transformação linear que é a reflexão com relação a uma reta r. Assuma que a matriz de R na base canônica é
.
(a) Determine os autovalores de R
(b) Determine um vetor u com a direção da reta r.
(c) Determine os autoespaços de R.
(d) R é diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize¹ R. Se sua resposta foi negativa, justifique.
(e) Determine explicitamente [R]-¹ . (Lembre que sempre é preciso justificar.)
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Considere a transformação satisfazendo , e Assinale a soma dos elementos da diagonal da matriz .
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Questão 36
Para cada real, considere a transformação dada por:
Para , quais são os autovalores e os autoespaços de ?
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Mostre que:
a) Se é um isomorfismo e se é um autovalor de , então e é autovalor da inversa .
b) Não existe uma transformação linear tal que .
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Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.
- Existe uma transformação linear tal que é autovetor associado ao autovalor , e .
- Existe uma transformação linear injetora .
- Se é uma base de , é uma base de , e são tais que
Então é invertível (Obs. ).
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Sejam as transformações lineares associadas, respectivamente, às matrizes:
Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:
- Existe uma base de autovetores para
- Existe uma base de autovetores para .
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ambas são falsas.
Ambas são verdadeiras.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
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Considere as seguintes afirmações:
Se é autovalor de , uma matriz invertível, então é autovalor de com os mesmos autovetores de .
Se são duas matrizes que representam a mesma transformação linear em bases distintas, então elas possuem distintos polinômios característicos.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
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Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja um operador linear cujo polinômio característico é , em que a e b são números reais distintos. Sejam vetores não nulos tais que . Detone o operador identidade de V por I. Qual das seguintes afirmações é FALSA?
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Questão 42
Seja o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a . Considere a transformação linear dada por:
Qual é a soma das dimensões dos autoespaços de ?
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Questão 43
Seja a transformação linear dada por Assinale a alternativa FALSA:
é um autovetor de associado ao autovalor .
Se então é um autovalor de .
Os autovalores de são , e .
é um autovetor de associado ao autovalor .
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09) Seja um operador linear do espaço vetorial complexo tal que .
Sabendo que possui autovalores distintos e que é um autovetor de , qual dos seguintes vetores de certamente não é um autovetor de
A)
B)
C)
D)
E)
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Considere as seguintes afirmações:
Os autovalores de são diferentes dos de , se não for simétrica.
Duas matrizes e que representam a mesma transformação linear em bases distintas podem possuir polinômios característicos distintos.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 46
Seja a transformação linear dada por . Assinale a alternativa FALSA:
(a) é um autovetor de associado ao autovalor .
(b) Os autovalores de são .
(c) é um autovetor de associado ao autovalor .
(d) Se , então é um autovalor de .
(e) Não sei.
Ver solução completaQuestão 47
Seja uma transformação linear tal que e . Seja a matriz de em uma base qualquer. Calcule a soma dos elementos da diagonal de .
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Questão 48
Considere as bases:
e
de , e seja o operador linear tal que:
Se denotam os autovalores de , então é:
Ver solução completaQuestão 49
Seja o espaço formado pelas combinações lineares das funções . Considere em a transformação linear que a cada vetor associa a derivada dessa função. Então:
tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores
tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores
tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores
tem autovalores complexos
Ver solução completaQuestão 50
Seja um operador linear cujos autovalores são . A dimensão do núcleo de é:
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Questão 51
Seja a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre o plano de equação
E seja a projeção afim que é a projeção ortogonal sobre um plano paralelo ao plano .
(a) Mostre que a transformação P é definida pela matriz:
(b) Determine Im(P)
(c) Encontre uma base do espaço nulo de P
(d) Encontre, se houver, uma base de feita com vetores que sejam autovetores de P. Caso contrário, justifique.
(e) Nos itens seguintes, assuma que e determine:
e.1) A expressão para F, ou seja, determine F(x,y,z) (pode responder usando matrizes, se preferir)
e.2) A equação cartesiana do plano .
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Seja u um autovetor unitário da matriz simétrica A, relativo ao autovalor Seja a forma quadrática associada a A. Assinale o valor de
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completaQuestão 53
Considere a transformação linear, cuja matriz na base canônica é:
- Determine os autovalores de .
- Determine, se possível, uma base de autovetores de .
- Considere a matriz Determine o traço de .
- Determine se existe uma base de tal que a matriz na base seja:
- Determine se existe uma base de tal que a matriz de na base seja:
Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.
Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.
Ver solução completaQuestão 55
Considere a reta em de equação paramétrica
e a transformação linear
Espelhamento em relação a reta .
- Determine uma base ortonormal de formada por autovetores de , e determine os respectivos autovalores.
- Determine a matriz da transformação linear na base ,
- Determine a matriz da transformação linear na base canônica de .
Questão 56
Seja um espaço vetorial de dimensão quatro e uma transformação linear tal que existem subespaços e de , ambos de dimensão dois, tais que , para e para . Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
- O espaço possui uma base de autovetores de .
- Existe um vetor não nulo tal que
é verdadeira e é falsa.
e são verdadeiras.
é falsa e é verdadeira.
e são falsas.
Ver solução completaQuestão 57
Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de . Calcule a soma dos elementos da diagonal principal de .
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Questão 58
Considere duas transformações lineares e .
Defina o que é um autovetor de associado ao autovalor .
Mostre que se é um autovetor de associado a um autovalor , então é um autovetor de associado ao mesmo autovalor . Explicite onde você usou a hipótese .
Mostre que se é autovalor de , então é autovalor de . (Dica: Use determinantes!)
Verdadeiro ou Falso: Se é autovalor de e de , então é autovalor da transformação . (Dica: Lembre que é definida por .)
Ver solução completaQuestão 59
Sabemos que é uma projeção em um plano . Qual das opções abaixo é o polinômio característico de ?
- –
- .
Questão 60
Sejam e matrizes quadradas.
Considere as afirmativas:
- Se a dimensão do núcleo de é então é autovalor de .
- Se é inversível então é autovalor de .
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é falsa (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
Questão 61
Considere o plano de de equação cartesiana:
E as transformações lineares
- espelhamento no plano e
- projeção ortogonal no plano .
Denote por e as matrizes e na base canônica, respectivamente.
- Determine explicitamente matrizes , e tais que:
- Determine explicitamente a matriz .
- Considere a base de
Onde é ortogonal e e são diagonais.
Determine explicitamente a matriz , a matriz na base
Ver solução completaQuestão 62
Sejam e sua transposta.
Considere a transformação linear cuja matriz, na base canônica , é a matriz
.
c)Determine os autovalores de T
d) Determine os autoespaços de T
Ver solução completaQuestão 63
Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(b) Seja uma transformação linear. Se é autovetor de T associado ao autovalor 1 e é autovetor associado a , então
Ver solução completaQuestão 64
Considere dada por , onde . Denotamos por a base canônica de .
Defina “autoespaço associado ao autovalor de ”.
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