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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 21

Considere o sistema linear:

S = 2 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = a x 1 - x 2 + 4 x 3 = b 6 x 2 - 14 x 3 = c

Seja W = { x 1 , x 2 , x 3 ∈ R 3 : x 1 , x 2 , x 3   é   s o l u ç ã o   d e   ( S ) } . Isto é, W é o conjunto-solução do sistema.

  1. Que condições devemos impor a ,   b   e   c para que W seja subespaço vetorial de R 3 ?
  2. Nas condições determinadas em a) encontre uma base para W .
  3. Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?

Passo 1

  1. Para que W seja subspaço, o elemento neutro deve pertencer ao conjunto solução. Ou seja ( 0,0 , 0 ) deve ser solução.

    2. Substituindo no sistema, temos que:

    a = b = c = 0

    Passo 2

  2. Vamos escalonar o sistema:

    3. 2 4 - 6 1 - 1 4 0 6 - 14

    l i n h a   2 - 1 2 l i n h a   1 :

    2 4 - 6 0 - 3 7 0 6 - 14

    l i n h a   3 + 2 l i n h a   2 :

    2 4 - 6 0 - 3 7 0 0 0

    Disso, temos que:

    2 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = 0   e - 3 x 2 + 7 x 3 = 0

    Ou seja:

    x 2 = 7 3 x 3

    Substituindo na primeira equação:

    2 x 1 + 4 ∙ 7 3 x 3 - 6 x 3 = 0 ⇒ x 1 = - 5 3 x 3

    Dessa forma, temos que:

    x 1 , x 2 , x 3 = - 5 3 x 3 , 7 3 x 3 , x 3 = x 3 ( - 5 3 , 7 3 , 1 )

    Passo 3

  3. O grau de liberdade é igual à dimensão do espaço de soluções.

Sim, pois seja um sistema homogêneo com grau de liberdade m , então são necessárias apenas m variáveis para representar seu espaço solução, isto é:

x 1 , … , x n = ( x 1 , … , x m , a 11 x 1 + … + a 1 m x m ,   … , a n - m   1 x 1 + a n - m   m x m )

Mas isso pode ser escrito como:

x 1 1,0 , 0 , … , a 11 , a 21 , … , a n - m   1 + … + x m ( 0 , … , 1 , … , a 1 m , … , a n - m   m )

Que são m vetores que formam a base do subspaço das soluções.

Resposta

  1. a = b = c = 0 ;
  2. Base: ( - 5 3 , 7 3 , 1 ) ;
  3. O grau de liberdade é igual à dimensão do espaço de soluções. Sim.
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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais de M(2,2):a) a b c d ; b = a + ced = c