Enunciado

Nos Exercícios 27-28, encontre uma solução geral do sistema e use essa solução para encontrar uma solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado.

27.

3 4 1 2 6 8 2 5 9 12 3 10 x 1 x 2 x 3 x 4 = 3 7 13

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema, escalonando a matriz aumentada M , que é a matriz onde adicionamos a coluna de termos independentes a matriz de coeficientes.

M = 3 4 1 2 6 8 2 5 9 12 3 10       3       7     13

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 3 L 1

3 4 1 2 0 0 0 1 0 0 0 4       3       1       4

L 3 ← L 3 - 4 L 2

3 4 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0       3       1       0

Como a matriz M está escalonada, e obtivemos uma linha nula podemos omiti-la ao voltar para notação de sistema. Logo nosso sistema escalonado, é da forma:

3 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3                                                                         x 4 = 1

Passo 2

Agora, a partir do nosso sistema escalonado vamos encontrar a solução geral:

3 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3                                                                         x 4 = 1

Substituindo x 4 = 1 na primeira equação, temos:

3 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 2 ( 1 ) = 3

3 x 1 + 4 x 2 + x 3 = 3 - 2

3 x 1 + 4 x 2 + x 3 = 1

3 x 1 = 1 - 4 x 2 - x 3

x 1 = 1 3 - 4 3 x 2 - 1 3 x 3

Logo, temos:

x 1 = 1 3 - 4 3 x 2 - 1 3 x 3 , x 2 = x 2 , x 3 = x 3 ,   x 4 = 1 .

De acordo com o livro, adotamos as letras s e t para nossa solução, logo a solução geral é:

x 1 = 1 3 - 4 3 s - 1 3 t , x 2 = s , x 3 = t ,   x 4 = 1

Passo 3

Para encontrarmos uma solução geral do sistema homogêneo associado, temos que lembrar que a solução geral de um sistema pode ser obtida somando um vetor particular à solução do sistema homogêneo, logo vamos expressar a solução geral de forma vetorial:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1 3 - 4 3 s - 1 3 t , s   ,   t ,   1

Agora vamos separar o vetor solução geral em um vetor com variáveis somado a um vetor particular:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1 3 - 4 3 s - 1 3 t , s   ,   t ,   1

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1 3 , 0 ,   0   ,   1 + - 4 3 s - 1 3 t , s , t , 0

Dessa forma, encontramos a solução do sistema homogêneo associado, que é:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = - 4 3 s - 1 3 t , s , t , 0

Logo a solução do sistema homogêneo associado é:

x 1 = - 4 3 s - 1 3 t , x 2 = s , x 3 = t , x 4 = 0

Passo 4

Para encontrarmos uma solução particular do sistema dado, basta simplesmente atribuirmos qualquer valor para as variáveis s e t .

x 1 = 1 3 - 4 3 s - 1 3 t , x 2 = s , x 3 = t ,   x 4 = 1

Fazendo s = t = 0 , temos a solução:

x 1 = 1 3 , x 2 = 0 , x 3 = 0 ,   x 4 = 1

Resposta

Solução geral do sistema: x 1 = 1 3 - 4 3 s - 1 3 t , x 2 = s , x 3 = t ,   x 4 = 1

Solução geral do sistema homogêneo : x 1 = - 4 3 s - 1 3 t , x 2 = s , x 3 = t , x 4 = 0

Solução particular: x 1 = 1 3 , x 2 = 0 , x 3 = 0 ,   x 4 = 1

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