Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 27
Nos Exercícios 27-28, encontre uma solução geral do sistema e use essa solução para encontrar uma solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado.
27.
Passo 1
Para resolver essa questão, vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema, escalonando a matriz aumentada , que é a matriz onde adicionamos a coluna de termos independentes a matriz de coeficientes.
Como a matriz está escalonada, e obtivemos uma linha nula podemos omiti-la ao voltar para notação de sistema. Logo nosso sistema escalonado, é da forma:
Passo 2
Agora, a partir do nosso sistema escalonado vamos encontrar a solução geral:
Substituindo na primeira equação, temos:
Logo, temos:
, , , .
De acordo com o livro, adotamos as letras e para nossa solução, logo a solução geral é:
, , ,
Passo 3
Para encontrarmos uma solução geral do sistema homogêneo associado, temos que lembrar que a solução geral de um sistema pode ser obtida somando um vetor particular à solução do sistema homogêneo, logo vamos expressar a solução geral de forma vetorial:
Agora vamos separar o vetor solução geral em um vetor com variáveis somado a um vetor particular:
Dessa forma, encontramos a solução do sistema homogêneo associado, que é:
Logo a solução do sistema homogêneo associado é:
, , ,
Passo 4
Para encontrarmos uma solução particular do sistema dado, basta simplesmente atribuirmos qualquer valor para as variáveis e .
, , ,
Fazendo , temos a solução:
, , ,
Resposta
Solução geral do sistema: , , ,
Solução geral do sistema homogêneo : , , ,
Solução particular: , , ,