Se e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Então temos um operador de rotação descrito como , que leva cada vetor no vetor que dele resulta pela rotação de ângulo em torno da origem.

Inicialmente vamos supor que eles são vetores da base canônicas descritas como:

e

De modo que a matriz m agora canônica será descrita como:

Como temos uma matriz de rotação se x = (x,y) for um vetor em R² e se w= (w1,w2) for sua imagem por essa rotação, então a reação w= mx pode ser dada em termos de sua componentes

Com isso provamos que as colunas e linhas da matriz de rotação são vetores, pois sói vetores podem ser escrito em termos de suas componentes.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!