Mostre que se A for diagonalizável e

y = y 1 y 2 ⋮ y n

É uma solução do sistema y = A y → , então cada y i é uma combinação linear e λ 1 x ,   e λ 2 x , … , e λ n x , onde λ 1 , λ 2 , … ,   λ n são os autovalores de A.

Passo 1

Dada uma matriz D , que é a diagonalizada da matriz A   de coeficientes da equação diferencial:

D = λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 λ n

O sistema diagonal é dado por:

u ' → = D ⋅ u →

u 1 ' u 2 ' ⋮ u n ' = λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 λ n u 1 u 2 ⋮ u n

Executando o produto matricial teremos:

u 1 ' u 2 ' ⋮ u n ' = u 1 λ 1 u 2 λ 2 ⋮ u n λ n

E pela solução geral das equações diferenciais, podemos afirmar que:

u 1 u 2 ⋮ u n = c 1 e λ 1 x c 2 e λ 2 x ⋮ c n e λ n x

Passo 2

Agora vamos olhar pra solução da equação diferencial

y → = P ⋅ u →

P é uma matriz composta pelas bases dos auto espaços, e no passo anterior nós calculamos u → como uma matriz composto por e λ 1 x ,   e λ 2 x , … , e λ n x . E também sabemos que um produto matricial é uma combinação linear.

Então, um produto matricial entre P e u → é uma combinação linear. Mas como u → é composto pelos autovetores de A , então isso demonstra que a solução de um sistema de equações diferenciais é uma combinação linear dos autovalores de A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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