Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 6
Mostre que se A for diagonalizável e
É uma solução do sistema , então cada é uma combinação linear , onde são os autovalores de A.
Passo 1
Dada uma matriz que é a diagonalizada da matriz de coeficientes da equação diferencial:
O sistema diagonal é dado por:
Executando o produto matricial teremos:
E pela solução geral das equações diferenciais, podemos afirmar que:
Passo 2
Agora vamos olhar pra solução da equação diferencial
é uma matriz composta pelas bases dos auto espaços, e no passo anterior nós calculamos como uma matriz composto por . E também sabemos que um produto matricial é uma combinação linear.
Então, um produto matricial entre P e é uma combinação linear. Mas como é composto pelos autovetores de , então isso demonstra que a solução de um sistema de equações diferenciais é uma combinação linear dos autovalores de
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)