Enunciado

14.

(a) Seja c   =   3 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes.

(b) Desenhe a trajetória que começa no ponto ( 1 ,   0 ,   - 2 ) . Observe que o ciclo limite agora consiste em dois laços antes de fechar; é chamado muitas vezes de 2-ciclo.

(c) Faça o gráfico de x, y ou z em função de t e mostre que o período T2 de movimento no 2- ciclo está muito próximo do dobro do período T 1 do ciclo limite simples no Problema 12. Ocorreu uma bifurcação com duplicação de período dos ciclos para algum valor de c entre 1,3 e 3 .

Passo 1

L e t r a   A :

A primeira coisa que devemos aqui é substituir as derivadas por 0 , já que estamos buscando os valores dos pontos críticos:

x ' = - y - z ,       y ' = x + 0,25 y ,       z ' = 0,5 + z x - c     →

0 = - y - z ,       0 = x + 0,25 y ,       0 = 0,5 + z x - c     →

Da segunda equação...

x = - 0,25 y  

E da primeira equação, tiramos que...

z = - y

Jogando esses dois últimos resultados na última equação...

0 = 0,5 + z x - c   →

0 = 0,5 - y - 0,25 y - c     →

Poxa! Uma equação do segundo grau:

0,25 y 2 + c y + 0,5 = 0

Substituindo então o c por 3 e resolvendo a equação do segundo grau...

0,25 y 2 + 3 y + 0,5 = 0   →

y 1 = - 11.831         e           y 2 = - 0.169048

BELEZA! Substituindo então nas informações de x e de z ...

x = - 0,25 y           →                 x 1 = 2.95775 x 2 = 0.04226

z = - y       →               z 1 = 11.831 z 2 = 0.169048

Os dois pontos críticos nesse caso então serão...

2.95775 ,   - 11.831 ,   11.831             e                 0.04226 ,   - 0.169048 ,   0.169048

O jacobiano desse primeiro ponto será então...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5   →

J 2.95775 ,   - 11.831 ,   11.831 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 11.831 0 2.95775 - 0,5     →

Jogando no Wolfram para obter seus autovalores ganharemos...

λ = 0.415779         e           λ = 1.04243 ± 3.38233   i

MAS CALMA, meu Jovem! Temos um segundo ponto crítico e que certamente precisa ser avaliado também!

J 0.04226 ,   - 0.169048 ,   0.169048 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 0.169048 0 0.04226 - 0,5     →

Calculando os seus autovalores por sua vez obteremos...

λ = - 0.570371         e           λ = 0.0777622 ± 1.04187   i

Passo 2

L e t r a   B :

Usando o mesmo código então do exercício 11, mas mudando o ponto inicial para o ponto pedido: ( 1 ,   0 ,   - 2 ) e considerando o c = 3 , aqui está o gráfico da solução...

Observe que de fato a solução tem 2 voltas hehe!

Passo 3

L e t r a   C :

Bem, no problema 12, encontramos um período de T = 6 . Aqui, fazendo o gráfico de x , y e z todos juntos do mesmo jeito que fizemos lá nesse problema...

Observe que de fato entre dois mínimos da curva laranja, de fato temos um intervalo de 12 , sugerindo que o período dobrou de 6 para 12 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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