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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 45

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

45. ∫ 0 e d x 2 x + e

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 e d x 2 x + e

A substituição que iremos utilizar é:

u = 2 x + e

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 2 d x

∴ d u 2 = d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 e d x 2 x + e = 1 2 ∫ 0 e d u u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, teremos:

1 2 ∫ 0 e d u u = 1 2 ln ⁡ u e 0

1 2 ∫ 0 e d u u = 1 2 ln ⁡ 2 x + e e 0

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

1 2 ∫ 0 e d u u = 1 2 ln ⁡ 2 e + e - 1 2 ln ⁡ 2 . 0 + e

∴ ∫ 0 e d x 2 x + e = 1 2 ln ⁡ 3

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 e d x 2 x + e = 1 2 ln ⁡ 3

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Usando a substituição z = tan ⁡ 1 2 x , prove que ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C
Calcule a integral definida. ∫ 0 1 x 1 + x 3d x
Calcule ∫ d x x - x por dois métodos: (a) tomando x = z 2 ; (b) escrevendo x - x = x x - 1 e tomando u = x - 1 .
Mostre que o resultado do exercício 48 é equivalente à fórmula ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ | c o s s e cx - c o t a nx | + C .
Calcule a integral definida. ∫ 2 1 1 x 3 x 2 + 4 3d x