Enunciado

55- Seja R uma região elíptica no plano. Dada qualquer reta L , prove que existe uma reta perpendicular a L que divide R em duas regiões de mesma área.[Sugestão: Introduza coordenadas tais que L coincida com o eixo x . Use o resultado do exercício 54 e o Teorema do Valor Intermediário.]

Passo 1

Galerinha,

Seja A a área total da elipse. Se pegarmos um z 2 tal que x = z 2 esteja totalmente à direita da elipse, nós teremos f z 2 = A (toda elipse está a esquerda da reta). Se tomarmos z 1 tal que x = z 1 esteja totalmente à esquerda da elipse, então f z 1 = 0 (nenhuma região da elipse está a esquerda da reta).

Assim, temos que:

f z 1 = 0 e f z 2 = A

Tahhh, mas o que tudo isso tem a ver com Teorema do Valor Intermediário e onde nós provamos que a reta perpendicular a L que divide R em duas regiões de mesma área: A 2 ???

Passo 2

Amiguíneooss, o TVI nos diz o seguinte:

Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e k um número inteiro entre f ( a ) e f ( b ) , inclusive, então existe no mínimo um número x no intervalo [ a , b ] , tal que f x = k .

Como temos um intervalo fechado [ 0 , A ] que o A 2 pertence, pelo teorema deve existir um f ( z 0 ) (que é a nossa reta perpendicular a L ) tal que f z 0 = A 2 .

Fim!

Resposta

Demonstração acima.

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