Enunciado

72. A tabela fornece a população dos Estados Unidos de 1790 e 1860 .

  1. Use uma calculadora gráfica ou computador para ajustar uma função exponencial aos dados. Faça um gráfico dos pontos dados e do modelo exponencial. Qual a qualidade do ajuste?
  2. Estime as taxas de crescimento em 1800   e 1850 fazendo a média de inclinações de retas secantes.
  3. Use o modelo exponencial da parte (a) para estimar as taxas de crescimento em 1800 e 1850 . Compare essas estimativas com as da parte (b)

Passo 1

(a)

Usarei o Excel como calculadora gráfica! E pelo excel a função que melhor se ajusta a essa tabela é:

P ( t ) = 5 × 10 - 7 e 0,0295 t

Passo 2

(b) Com o gráfico traçado fica mais fácil né?

P ’ ( 1800 ) = 20000000 - 5000000 1840 - 1800 = 15000000 40 = 375.000   p e s s o a s / a n o

Faremos a mesma coisa para o ano de 1850 !

P ’ ( 18 5 0 ) = 30 . 000 . 000 - 10.000.000 1860 - 1840 = 20000000 20 = 1.000.000 p e s s o a s / a n o

Como é uma estimativa diremos que vai até o 30000000 !!

Passo 3

Agora acabou a estimativa vamos para a realidade, e ela é cruel!!!

Vamos derivar a expressão da População.

P ( t ) = 5 × 10 - 7 e 0,0295 t

Vamos usar a regra da cadeia!

u ( v ( t ) ) = 5 × 10 - 7 e 0,0295 t

Isolando u ( t ) e já derivando!

u ( t ) =   5 × 10 - 7 e t

u ' ( t ) =   5 × 10 - 7 e t

Isolando v ( t ) e já derivando

v ( t ) = 0,0295 t

v ' ( t ) = 0,0295

P ( t ) ' = u ( v ( t ) ) ' = u ' ( v ( t ) ) v ' ( t )

P ( t ) ' = 5 × 10 - 17 e 0,0295 t × 0,0295

P ( t ) ' = 0,14755 × 10 - 17 e 0,0295 t

Substituiremos t por 1800 e com o auxilio da calculadora acharemos:

P ( 1800 ) ' = 169.815

Substituiremos t por 1850 e com o auxilio da calculadora acharemos:

P ( 1850 ) = 742.267

O estimado ficou bem distante do “real” isso aconteceu, pois usamos eixos com poucas partições e retas secantes bem inclinadas!

Resposta

(a)

P ( t ) = 5 × 10 - 7 e 0,0295 t

(b)

P ’ ( 1800 ) = 375.000   p e s s o a s / a n o

P ’ ( 18 5 0 ) = 1.000.000

(c)

P ( 1800 ) ' = 169.815

P ( 1850 ) ' = 742.267

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