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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 20

Ache (f^(- 1))^' ( d ) .

f (x) = tan 2 x , - (pi)/(4) <= x <= (pi)/(4) ; d = 1

Passo 1

A questão fornece uma função f invertível e pede para acharmos a derivada da inversa em x = d . Por mais estranho que possa parecer, não precisamos achar uma expressão para f^(- 1) para achar sua derivada em um determinado ponto, podemos recorrer ao teorema 7.2.4 apresentado nessa seção do livro.

O teorema basicamente diz que se f (c) = d e f^' (c) != 0 , então

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f ' ( c ))

Desta forma, basta conhecermos a derivada de f em x = c que saberemos a derivada de f^(- 1) em x = d .

Neste caso, temos que f (x) = tan 2 x e d = 1 . O primeiro passo é descobrir c tal que f (c) = d . Assim, temos que

tan 2 c = d = 1

Portanto,

2 c = (pi)/(4) => c = (pi)/(8)

Passo 2

Agora precisamos achar f ' ( c ) . Derivando f :

f^' (x) = 2 sec^2 2 x

Assim,

f^' (c) = f^' ((pi)/(8)) = 2 sec^2 (pi)/(4) = 2 * 2 = 4

Portanto,

(f^(- 1))^' (d) = (f^(- 1))^' (1) = (1)/(f ' ( c )) = (1)/(4)

Resposta

(1)/(4)

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Seja f uma função inversível com inversa g . Mostre quea) f g x = x para todo x ∈ D g b) g f x = x para todo x ∈ D f
Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.b) Prove que g é estritamente crescente.c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)
Calculeg) a r c s e n (s e n (2 pi)/(3)) (Cuidado!)
Calcule.g) a r c s e n (- (1)/(2))
Calcule.b) a r c s e n (1)/(2)