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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 17

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C ( x 2 + y 2 - z )   d s , onde C   é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 z   e   z = 4

Passo 1

Vamos fazer a interseção primeiro...

x 2 + y 2 + z 2 = 8 z z = 4

x 2 + y 2 + 4 2 = 8 4

x 2 + y 2 = 32 - 16

x 2 + y 2 = 16

Ou seja, C é um círculo, então a gente pode parametrizar assim...

x = 4 cos ⁡ t y = 4   s e n   t z = 4 ,   t ∈ 0 ,   2 π

Agora a gente deriva essa parametrização...

C ' = ( - 4 s e n   t ,   4 cos ⁡ t ,   0 )

E fazemos a norma pra determinar o d s :

d s = - 4   s e n   t 2 + 4 cos ⁡ t 2 + 0 2 = 16   s e n 2 t + 16 cos 2 ⁡ t = 16 ( 1 ) = 4

Passo 2

Agora a gente já pode montar nossa integral de linha...

∫ 0 2 π ( 16 cos 2 ⁡ t + 16   s e n 2 t - 4 )   ( 4 )   d t

∫ 0 2 π 16 - 4 4 d t

∫ 0 2 π 48   d t

  48   2 π = 96   π

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

96   π

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y + z )d s , onde C é o quadrado de vértices 1,0 , 1 ,1,1 , 1 ,0,1 , 1 ,( 0,0 , 1 ) .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y - 1 )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies z = x 2 + y 2ey = 1 e que está abaixo do plano z = 5 .
Calcule a massa do fio γ t = cos ⁡ ts e nt ,t , 0 ≤ t ≤ π , com densidade linear δ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Calcule a massa do fio γ t = t , 2 t , 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 , cuja densidade linear é δ x , y , z = x + y + z .
Calcule ∮ c fd S 1.f f x , y , z = x + y E C é a curva obtida como interseção do semiplano x = y y ≥ 0 Com o paraboloide z = x 2 + y 2 z ≤ 2