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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 5

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(3 + cos x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(3 + (1 - t^2)/(1 + t^2))

Vamos dar uma ajeitadinha...

int ((2 d t)/(1 + t^2))/((3 + 3 t^2 + 1 - t^2)/(1 + t^2))

int (2 d t)/(1 + t^2) * (1 + t^2)/(2 t^2 + 4)

int (2 d t)/(2 t^2 + 4)

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= (sqrt(2))/(2) a r c t g ((t)/(sqrt(2))) + C

Só voltar pra variável x agora, galera!

= (sqrt(2))/(2) a r c t g ((t g ((x)/(2)))/(sqrt(2))) + C

Prontinho😉

Resposta

(sqrt(2))/(2) a r c t g ((t g ((x)/(2)))/(sqrt(2))) + C

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