Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 3d
Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
Passo 1
E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D
Como no nosso caso temos ambas as variáveis e limitadas por duas constantes, podemos realizar as integrais diretamente pois a região é contínua nas duas variáveis. Por conveniência, vamos manter a ordem de integração.
Passo 2
Então, sabemos que os intervalos serão dados por:
E:
Dessa forma, podemos escrever:
Então, resolvendo a integral interna pelo método da substituição simples usando , tal que , teremos:
Quando
Quando
Logo:
Que resulta em:
Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:
Passo 3
Dessa forma, podemos escrever:
Ou ainda:
A segunda integral pode ser resolvida diretamente, mas a primeira precisa de algum método de resolução. Então, usando a substituição simples com , tal que , temos:
Quando
Quando
Então:
Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:
Passo 4
Portanto, resolvendo a outra integral, teremos:
Substituindo o intervalo de integração:
Logo, o resultado final da integral será dado por:
Ou seja: