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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 39

Calcule a integral.

∫ e t   i + 2 t   j + ln ⁡ t   k d t

Passo 1

Fala ai pessoal! Tudo tranquilo por ai?

Vamos resolver uma questão de integral simples, a questão pede para resolvermos apenas. Começaremos separando os termos e calculando as integrais individualmente.

Bora lá! 😊

Passo 2

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes.Temos

∫ e t   i + 2 t   j + ln ⁡ t   k d t

Separando os termos

∫ e t d t i + ∫ 2 t   d t j + ∫ l n   t   d t k

Passo 3

Primeira integral

∫ e t d t   i

A integral de e t em relação a t é simplemente e t , pois a derivada será ela mesma.

= e t i

Passo 4

Segunda Integral

∫ 2 t   d t j

= 2 t 2 2

= t ²   j

Passo 5

Terceira e última integral

l n ∫ ⁡ t d t k

Para essa integral teremos que usar a integral por partes.

u = ln ⁡ t e d u = d t

Derivando u = ln ⁡ t , temos d u = 1 t d t

Integrando d v = d t , temos v = t

Aplicando a formula de integração por partes.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 6

Temos então

= t ln ⁡ t - ∫ t 1 t d t

= ( t ln ⁡ t - t ) k

Passo 7

Prontinho, calculamos cada parte! 😊

Agora é só juntar tudo e nossa integral fica desse jeito

∫ e t   i + 2 t   j + ln ⁡ t   k d t = e t i + t ² j + ( t ln ⁡ t - t ) k

Resposta

e t i + t 2 j + t ln ⁡ t - t k + C

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Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais14. r t = cos 3 ⁡ t i + sen 3 ⁡ t j , 0tπ / 2