Calcule a integral.

∫ 1 2 t 2   i + t   t - 1   j +   t sen ⁡ π t   k d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ 1 2 t 2   i + t   t - 1   j +   t sen ⁡ π t   k d t

Para isso, basta a gente saber que a integral da soma é a soma de integrais, ou seja:

∫ f i + g j d x = ∫ f i d x + ∫ g j d x

A gente em seguida resolve cada uma separadamente.

Passo 2

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes.Temos

∫ 1 2 t 2   i + t   t - 1   j +   t sen ⁡ π t   k d t

= ∫ 1 2 t 2 d t i + ∫ 1 2 t t - 1 d t j + ∫ 1 2 t   s e n   π t   d t k

Perceba que:

  • A primeira integral a gente resolve pela regra da potência;
  • A segunda integral pode ser resolvida por substituição tomando-se u = t - 1 e realizando manipulações no integrando;
  • A terceira integral pode ser resolvida por partes tomando-se u = t e d v = s e n   π t   d t .

Aplicando essas informações, temos:

= t 3 3 1 2 i + 2 5 t - 1 5 2 + 2 3 t - 1 3 2 1 2 j + - 1 π t cos ⁡ π t 1 2 + ∫ 1 2 1 π cos ⁡ π t d t k

Aplicando os limites de integração e resolvendo a integral do cosseno, obtemos:

= 8 3 - 1 3 i + 2 5 + 2 3 j + - 2 π - 1 π + 1 π 2   s e n   π t 1 2 k

= 7 3 i + 16 15 j + - 3 π + 0 k

= 7 3 i + 16 15 j - 3 π k

Resposta

7 3 i + 16 15 j - 3 π k

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