Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 3

3. Calcule a menor distancia do ponto (0,2) à curva de equação y = x 2 - 4

Passo 1

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

∇ f x , y = λ ∇ g

g x , y

Onde f é a nossa função e g é nossa região. Sendo λ nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

∇ f x , y = 0,0

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Passo 2

No nosso caso a função distancia vai ser

D = x 2 + y - 2 2

Logo para otimizar podemos fazer o truque de derivar apenas o argumento da raiz, ou seja, nossa função f   é

f   x , y =   x 2 + y - 2 2

Com isso nossa função gradiente é

∇ f = 2 x   ,   2 y - 2

Vamos agora usar o método de Lagrange

g   : x 2 - 4 - y = 0

∇ g = 2 x   ,   - 1

Passo 3

Nosso sisteminha com o multiplicador de Lagrange fica assim

2 x = λ 2 x

2 y - 4 = λ - 1  

x 2 - 4 - y = 0

Olhando para a equação I percebemos que

λ = 1

Assim substituindo esse valor em II temos

2 y - 4 = - 1  

y = 3 2

Vamos usar isso na equação III agora

x 2 - 4 - 3 2 = 0

x =   ± 11 2

Vamos usar esses pontos para descobrir a distancia

f   11 2 , 3 2 = 11 2 2 + 3 2 - 2   2

= 11 2 + 1 4

= 23 4

Lembrando que a função f é a distancia ao quadrado. Queremos na verdade

D =   f = 23 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

D =   f = 23 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar o ponto da esfera x + y - z = 1 mais próximo do ponto (1, 1, 1).
Achar os valores extremos de z =2 x y sujeitos à condição x + y =2 .
Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:61) z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 9
Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:58) z = 2 x + y ;x 2 + y 2 = 4
Determinar as dimensões do paralelepípedo de maior volume que pode ser inscrito no tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano x + 1 3 y + 1 2 z = 1 .