Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y e y z d y

C :   x = t ,     y = t 2 ,     z = t 3 ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala, pessoal!

Essa questão nos pede pra calcular a integral de linha

∫ C x y e y z d y

Nos dando informações sobre a região C definida por

x = t

y = t 2

z = t 3

0 ≤ t ≤ 1

Para resolver qualquer integral de linha precisamos fazer uma parametrização, no nosso caso já temos todas as informações parametrizadas em t . Agora só precisamos nos preocupar em organizar a integral e calcular. Simbora?

Passo 2

Vamos começar calculando o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 1

d y d t = 2 t → d y = 2 t d t

d z d t = 3 t 2

Agora, substituindo o valor das expressões na integral, temos:

∫ 0 1 t t 2 e t 2 t 3 2 t d t

Jogando o 2 como constante para fora da integral:

2 ∫ 0 1 t 4 e t 5   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

2 1 5 e t 5 0 1

Substituindo os limites de integração...

2 1 5 e 1 5 - 1 5

2 5 e - 1

Resposta

∫ C x y e y z d y = 2 5 e - 1

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