Enunciado

Uma câmera de televisão está posicionada a 4000 pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taxa qua possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 pés/s quando já estiver subido 3000 pés. Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento? Se a câmera de televisão apontar sempre em direção ao foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela nesse mesmo momento?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que tem uma câmera vai acompanhar o movimento do foguete em lançamento, e nos pede a variação da distância e a variação do ângulo.

Vamos fazer um esqueminha para entender o que está acontecendo.

Queremos encontrar aqui a variação da distância do foguete até a câmera:

d s d t

E também queremos encontrar a variação do ângulo θ , isso é:

d θ d t

Para isso vamos usar Pitágoras e vamos usar alguma relação de seno, cosseno ou tangente.

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser usar o teorema de Pitágoras:

4000 ² + y ² = z ²  

(Perceba que só 4000 é constante, os outros valores que são a altura e a distância são variáveis).

Podemos fazer a derivada direta:

0 + 2 y . d y d t = 2 s . d s d t

Arrumando para d s d t ,   temos:

d s d t = y s d y d t

Agora, como sabemos que:

d y d t = 600 p é s / s

Temos:

d s d t = y s 600

Falta encontrarmos a distância s quando y = 3000   p é s . Usando o Pitágoras do início, temos:

4000 2 + 3000 2 = s 2

O que resulta em:

s = 5000   p é s

Portanto,

d s d t = 3000 5000 600 = 360   p é s / s

Passo 3

Com a nossa variação da distância calculada, vamos encontrar agora a taxa de variação do ângulo .

Podemos dizer que o ângulo θ possui a seguinte tangente, que é dada pelo cateto oposto sobre o cateto adjacente.

t g   θ = C O C A

t g θ = y 4000

Derivando em ambos os lados, temos:

sec 2 ⁡ θ d θ d t = 1 4000 d y d t

Lembrando que:

s e c θ = 1 c o s θ = H P C A

Que para o nosso caso, temos:

s e c θ = s 4000

Nesse momento, temos s = 5000   p é s , logo:

s e c θ = 5000 4000 = 1,25

Substituindo na expressão com a variação do ângulo, temos:

sec 2 ⁡ θ d θ d t = 1 4000 d y d t

1,25 2 d θ d t = 1 4000   600

E resolvendo, temos que:

d θ d t = 0,096   r a d / s

Resposta

d z d t = 360   p é s / s

d θ d t = 0,096   r a d / s

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