Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 9
(a) Um caso particular da equação de Liénard do Problema 8 é
em que g satisfaz as condições do Problema 6. Fazendo x = u, y = du/dt, mostre que a origem é um ponto crítico do sistema resultante. Essa equação pode ser interpretada como descrevendo o movimento de um sistema mola-massa com amortecimento proporcional à velocidade e uma
força restauradora não linear. Usando a função de Liapunov do Problema 6, mostre que a origem é um ponto crítico estável, mas note que, mesmo com amortecimento, não podemos concluir a estabilidade assintótica com essa função de Liapunov.
(b) A estabilidade assintótica do ponto crítico (0, 0) pode ser estabelecida construindo uma função de Liapunov melhor, como foi feito no item (d) do Problema 7. No entanto, a análise para uma função g geral é um pouco mais sofisticada, e vamos mencionar, apenas, que uma forma apropriada para V é
em que A é uma constante positiva a ser escolhida de modo que V seja positiva definida e que seja negativa definida. Para o problema do pêndulo com g(x) = sen x, use V como na equação precedente com A = 1/2 para mostrar que a origem é assintoticamente estável.
Sugestão: Use sen x = x − α x³/3! e cos x = 1 – βx³/2!, em que α e β dependem de x, mas 0
Passo 1
Tá legal! Vamos começar a letra (a) com a função . Como satisfaz as condições do Problema 6, então, teremos:
Como temos que , então, a origem será um ponto crítico do sistema. Agora analisando a função , temos:
Então, para o ponto (0,0), teremos:
Dessa forma, como é uma função ímpar na vizinhança de , teremos:
E, também:
Dessa forma será definida positiva.
Passo 2
Agora, podemos escrever a taxa de variação de como:
No nosso caso, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Com isso, temos que é semi-definida negativa. Então a origem será um ponto crítico estável.
Passo 3
Agora, vamos iniciar a letra (b) analisando a equação fornecida para :
E, vamos substituir os valores conhecidos, chegando em:
E, podemos ver que . Agora, podemos escrever a taxa de variação de como:
No nosso caso, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Passo 4
Agora, para o intervalo de , e tendo e , onde e dependem de . Tendo também que e . Então, substituindo esses valores na equação do passo 3:
Agora, vamos passar para coordenadas polares, fazendo e , chegamos em:
E, simplificando essa expressão, chegamos em:
Onde teremos:
Então, tendo pequeno, teremos . E então, teremos:
Então, com isso é definida negativa.
Passo 5
Agora precisamos mostrar que é definida positiva. Então, tendo , temos:
Então, fazendo:
E, tendo para . Substituindo a expressão para :
E, passando para coordenadas polares, temos:
Simplificando a expressão, chegamos em:
E, para , temos:
Então, com isso, temos que . Dessa forma será definida positiva, e com isso teremos que o ponto crítico será assintoticamente estável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)