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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 1b

Considere a aplicação definida por

x = u v e y = v - u

Calcule a a área de D .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ R f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde temos:

x = u v

y = v - u

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, colocamos os valores:

det ⁡ v u - 1 1 = u + v

Passo 3

Show de bolinhas, então nossa integral fica:

A = ∫ ∫ R 1 u + v d u d v

Onde nossa região R é delimitada por:

0 ≤ u ≤ 1

1 ≤ v ≤ 2

Passo 4

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ 1 2 ∫ 0 1 1 ( u + v ) d u d v

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 1 2 u 2 2 + v u 0 1 d v

= ∫ 1 2 1 2 + v d v

E integramos denovo:

A = 1 2 v + v 2 2 1 2

= 1 2 2 + 2 2 2 - 1 2 1 + 1 2 2

= 1 + 2 - 1 2 - 1 2 = 2

E prontinho. 😊

Resposta

A = 2

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Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R s e n ( 9 x 2 + 4 y 2 )d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + xd A , onde R é a região trapezoidal com vértices 1 ,0, 2 ,0, 0 ,2, 0 ,1
Seja f uma função contínua em 0 ,1 e seja R a região triangular com vértices 0 ,0 , 1 ,0 e 0 ,1 . Mostre que ∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 u f ud u
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R e x + yd A , onde R é dada pela inequação x + y ≤ 1
Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = v w ,z = u w