Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 35
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.
Determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo show? 😊
A questão pede pra gente determinar o volume e o centroide do sólido que está cima do cone
E abaixo dessa esfera aqui, ó:
Precisamos decidir se é melhor usar coordenas esféricas ou cilíndricas para calcular tanto o volume como o centro de massa do sólido.
Como ele é limitado por uma esfera, parece mais lógico usar coordenadas esféricas, concorda?
Relembrando, temos:
Estamos trabalhando com , onde é a distância da origem ao ponto, é o ângulo formado em relação ao eixo x e é o ângulo formado em relação ao eixo z.
Passo 2
Vamos descobrir os limites de integração.
Teríamos de cara
Vamos ver como fica a equação do cone nessas coordenadas:
Assim,
Desta forma, pegando apenas a parte de cima do cone, temos que o sólido é limitado por
enquanto pode variar livremente de a . Assim, o volume será
Já para o centro de massa, note que como o eixo de simetria do sólido está na direção e vamos supor que a distribuição de massa é uniforme (densidade constante), temos que . Assim, resta
Passo 3
Calculando a integral, uma técnica que podemos utilizar é separar as integrais conforme suas variáveis.
Sendo assim, temos:
Assim,
Substituindo os limites de integración...
Ou melhor,
Passo 4
Para o centroide,
Sabendo que . Fazendo as integrais,
Usando que
Temos que
Moleza! 😉