Enunciado

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = - x + 2 e g (x) = 4 - x^2 . Além disto, observe que temos três intervalos com comportamentos distintos das funções. Entre [- 2 , x_0] , f (x) >= g ( x ) , já entre [x_0 , x_f] temos g (x) >= f ( x ) . Por fim, no intervalo [x_f , 3] , voltamos a ter f (x) >= g ( x ) . Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = int_(- 2)^(x_0) [f (x) - g (x)] d x + int_(x_0)^(x_f) [g (x) - f (x)] d x + int_(x_f)^3 [f (x) - g (x)] d x

E como sabemos que

[f (x) - g (x)] = (- x + 2) - (4 - x^2) = x^2 - x - 2

[g (x) - f (x)] = - x^2 + x + 2

Temos então

A = int_(- 2)^(x_0) x^2 - x - 2 d x + int_(x_0)^(x_f) - x^2 + x + 2 d x + int_(x_f)^3 x^2 - x - 2 d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x_0 e x_f que aparecem nos limites de integração? Eles são as coordenadas x dos pontos de interseção entre as duas curvas. Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

- x + 2 = 4 - x^2

x^2 - x - 2 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x_1 = - 1 e x_2 = 2 . Como x_0 < x_f , sabemos então que x_0 = - 1 e x_f = 2 . Portanto, a área é dada por:

A = int_(- 2)^(- 1) x^2 - x - 2 d x + int_(- 1)^2 - x^2 + x + 2 d x + int_2^3 x^2 - x - 2 d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = int_(- 2)^(- 1) x^2 - x - 2 d x + int_(- 1)^2 - x^2 + x + 2 d x + int_2^3 x^2 - x - 2 d x

A = ([(x^3)/(3) - (x^2)/(2) - 2 x]|_(- 2)^(- 1) + ([- (x^3)/(3) + (x^2)/(2) + 2 x]|_(- 1)^2 + ([(x^3)/(3) - (x^2)/(2) - 2 x]|_2^3

A = [(- (1)/(3) - (1)/(2) + 2) - (- (8)/(3) - (4)/(2) + 4)] + [(- (8)/(3) + (4)/(2) + 4) - ((1)/(3) + (1)/(2) - 2)] + [((27)/(3) - (9)/(2) - 6) - ((8)/(3) - (4)/(2) - 4)]

A = [((7)/(6)) - (- (2)/(3))] + [((10)/(3)) - (- (7)/(6))] + [(- (9)/(6)) - (- (10)/(3))]

A = [(11)/(6)] + [((27)/(6))] + [((11)/(6))]

A = (49)/(6)

Resposta

A = (49)/(6)

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Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e indique sua área y = x 1 + x 2 , y = x 9 - x 2 ,x ≥ 0