Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ k = 0 ∞ 2 - k

Passo 1

E aí, galerinha? Tudo joia?

Bom, aqui precisamos analisar se nossa série é convergente ou divergente. Lembrando que convergência significa que a soma da série se estabiliza em um número, enquanto divergência significa que a soma não se estabiliza e cresce para infinito ou não converge para um valor específico.

Caso nossa série seja convergente, vamos precisar encontrar sua soma, ou seja, o resultado de somar todos os termos da nossa série infinita.

Aqui veremos que estamos tratando de uma série geométrica, que é um tipo de série onde a determinação da convergência e da soma ficam bem mais simples:

Podemos analisar sua convergência ou divergência simplesmente analisando o valor da razão q , nos poupando do cálculo do limite.

Se q < 1 a série é convergente.

Se q ≥ 1 a série é divergente.

Bora lá então!

Passo 2

A série geométrica tem formato:

∑ k = 0 ∞ a q k

Nossa série do enunciado não parece muito com esse formato de cara, então vamos precisar manipular um pouco.

Usando a propriedade: a - k = 1 a k

∑ k = 0 ∞ 2 - k = ∑ k = 0 ∞ 1 2 k

Podemos usar mais essa propriedade da potenciação a n b n = a b n e fazer:

∑ k = 0 ∞ 1 k 2 k = ∑ k = 0 ∞ 1 2 k

Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo a 1 = 1 e razão q = 1 / 2 .

∑ k = 0 ∞ 2 - k = 1 + 2 - 1 + 2 - 2 + …

Como o valor de q = 1 2 < 1 , nós temos uma série convergente!

Passo 3

Já descobrimos que a série converge. Agora, vamos calcular a soma dessa série! Assumindo o primeiro elemento como 1 . A soma infinita de termos de uma progressão geométrica é dada por:

S = a 0 1 - q

Calculando o valor de a 0 , já que a soma começa em 0, temos:

a 0 = 2 - 0 = 1

Substituindo os valores e fazendo a subtração de frações do denominador, temos:

S = 1 1 - 1 2 = 1 2 - 1 2

Fazendo a divisão de frações, chegamos em:

S = 2 2 - 1

Assim, podemos dizer que a série converge para 2 2 - 1 .

Resposta

A série é convergente e converge para 2 2 - 1 .

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