Enunciado

Determine a solução

a ) (d^2 x)/(d t^2) - 3 x = cos 3 t

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

(d^2 x)/(d t^2) - 3 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> (d^2 x)/(d t^2) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

(d^2 x)/(d t^2) - 3 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 3 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 3) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 3) = 0 -> lambda^2 - 3 = 0 -> lambda = +- sqrt(3)

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x como sendo:

x_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = sqrt(3) e lambda_2 = - sqrt(3)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x_h (t) = [A e^(sqrt(3) t) + B e^(- sqrt(3) t)]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

O nosso caso é o a_0 cos alpha t então vamos aplicar as possibilidades, como o nosso alpha = 3 não é solução da equação homogênea, e b = 0 , vamos aplicar o segundo caso, então:

f (t) = m cos 3 t

Temos agora que achar m , pra isso substituímos na equação homogênea pra ver se bate:

(d^2 (m cos 3 t))/(d t^2) - 3 (m cos 3 t) = cos 3 t

(d (m cos 3 t))/(d t) = - 3 m sin 3 t -> (d (- 3 m sin 3 t))/(d t) = - 9 m cos 3 t

- 9 m cos 3 t - 3 m cos 3 t = cos 3 t -> - 12 m cos 3 t = cos 3 t

- 12 m = 1 -> m = - (1)/(12)

Pronto! Agora temos f (t) = - (1)/(12) cos 3 t

Passo 4

Substituindo:

x (t) = x_h + x_p -> x (t) = A e^(sqrt(3) t) + B e^(- sqrt(3) t) - (1)/(12) cos 3 t

Resposta

x (t) = A e^(sqrt(3) t) + B e^(- sqrt(3) t) - (1)/(12) cos 3 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a solução b ) x ¨ + 4 x ˙ + 4 x = 2 t + 1
Determine a solução e )d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 2 x = 4
Determine a solução d ) x ¨ + 4 x ˙ + 3 x = 8 e 2 t