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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 31

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

O domínio de integração está no plano x y ou z = 0 e a “tampa” do sólido é dada pelo plano z = y . Assim, devemos integrar a função z x , y = y no domínio de itegração limitado pela circunferência x 2 + y 2 = 1 no plano x y .

Para descobrir os limites de y , temos que, como x = 0 :

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

y = ± 1

Como y ≥ 0 , então:

y = 1

Isolando x , temos:

x = 1 - y 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ y ≤ 1   , 0 ≤ x ≤ 1 - y 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 f ( x , y ) d x d y

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 1 - y 2 y d x = y x 0 1 - y 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 1 - y 2 y d x = y 1 - y 2 - 0

∫ 0 1 - y 2 y d x = y 1 - y 2

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y d x d y = ∫ 0 1 y 1 - y 2 d y

Passo 3

Agora é só resolver por substituição:

V = ∫ 0 1 y 1 - y 2 d y

Vamos chamar 1 - y 2 = u . Logo:

d u d y = - 2 y

- d u 2 = y d y

Analisando os limites, temos que, quando:

y = 0 → u = 1

y = 1 → u = 0

A substituição será:

∫ 0 1 y 1 - y 2 d y = ∫ 1 0 u - d u 2  

∫ 1 0 - 1 2 u d u = - 1 2 u 3 2 3 2 1 0

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 1 0 - 1 2 u d u = - 1 2 0 3 2 3 2 - 1 3 2 3 2

Resolvendo, temos:

∫ 1 0 - 1 2 u d u = 1 2 1 3 2 3 2

∫ 1 0 - 1 2 u d u = 1 3 1 3 / 2

∫ 1 0 - 1 2 u d u = 1 3

Logo:

∫ 0 1 y 1 - y 2 d y = 1 3

Portanto, o volume será:

V = 1 3

Resposta

V = 1 3

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