Enunciado

Encontre y ' se

y = l n ⁡ ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Fala galera, essa questão pede para a gente encontrar a derivada da seguinte função.

y = ln ⁡ x 2 + y 2

Repare que essa função está sendo dada implicitamente, pois temos um y no lado direito da equação. Dessa forma, quando formos derivar, temos que tomar o cuidado de quando derivar em y , não esquecer de multiplicar por y ' .

Como nessa função temos uma função dentro da outra vamos usar a regra da cadeia aqui, que diz que:

f ' x = f ' g x g ' x

Ou seja, a derivada da função composta é a derivada da função de fora com relação a função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, ficamos com

y ' = d d x 2 + y 2 ( ln ⁡ x 2 + y 2 ⋅ d d x ( x 2 + y 2 )

Chamando x 2 + y 2 de u , temos:

d d x 2 + y 2 ( ln ⁡ x 2 + y 2

u = x 2 + y 2

d d u ln ⁡ u = 1 u = 1 x 2 + y 2

Substituindo na nossa expressão da regra da cadeia.

y ' = d d x 2 + y 2 ( ln ⁡ x 2 + y 2 ⋅ d d x ( x 2 + y 2 )

y ' = 1 x 2 + y 2 ⋅ d d x ( x 2 + y 2 )

Agora, resolveremos a derivada que está faltando.

d d x x 2 + y 2 = 2 x + 2 y y '

Note que não podemos escrever direto somente 2 y necessitamos utilizar a regra da cadeia, por isso ficamos com 2 y y ' (foi o que falei no início do passo 1 sobre essa ser uma derivada implícita, quando deriva em y precisa multiplicar por y ' ).

Passo 3

Agora, podemos substituir o que encontramos em y ' e isolar y '

y ' = 1 x 2 + y 2 ⋅ d d x ( x 2 + y 2 )

y ' = 2 x + 2 y y ' x 2 + y 2

Agora isolando y ' , temos:

x 2 + y 2 ⋅ y ' = 2 x + 2 y y '

x 2 y ' + y 2 y ' = 2 x + 2 y y '

Coloco todo mundo que tem y ' pra esquerda e quem não tem pra direita:

x 2 y ' + y 2 y ' - 2 y y ' = 2 x

y ' ⋅ x 2 + y 2 - 2 y = 2 x

E agora basta passar pro outro lado dividindo e encontramos que:

y ' = 2 x x 2 + y 2 - 2 y

Resposta

y ' = 2 x x 2 + y 2 - 2 y

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