Encontre dy/dx:

y = (2x + 3)^3 / (4x^2 - 1)^8

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Esta questão pode parecer difícil, mas vocês verão que é molezinha !!

Primeiro vamos chamar:

f x = 2 x + 3 3

g x = 4 x 2 - 1 8

E lembrando da Regra do Quociente:

d y d x = g x . d f ( x ) d x - f ( x ) . d g ( x ) d x g x 2

Vamos começar chamando:

u = 2 x + 3

v = 4 x 2 - 1

Então:

f u = u 3

g v = v 8

Lembrando que:

d f ( x ) d x = d f ( u ) d u . d u d x

d g ( x ) d x = d g ( v ) d v . d v d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x e d v d x :

d u d x = 2

d v d x = 8 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

d f ( u ) d u = 3 u 2

d g ( v ) d v = 8 v 7

E por fim:

d f ( x ) d x = 3 u 2 . 2

d g ( x ) d x = 8 v 7 . 8 x

Substituindo u e v :

d f ( x ) d x = 6 . 2 x + 3 2

d g ( x ) d x = 64 x . 4 x 2 - 1 7

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

d y d x = 4 x 2 - 1 8 . 6 . 2 x + 3 2 - 2 x + 3 3 . 64 x . 4 x 2 - 1 7 4 x 2 - 1 8 2

d y d x = 6 . 2 x + 3 2 4 x 2 - 1 8 - 64 x . 2 x + 3 3 4 x 2 - 1 7 4 x 2 - 1 16

Evidenciando alguns termos:

d y d x = 2 . 2 x + 3 2 4 x 2 - 1 7 3 4 x 2 - 1 - 32 x 2 x + 3 4 x 2 - 1 16

d y d x = 2 . 2 x + 3 2 12 x 2 - 3 - 64 x 2 - 96 x 4 x 2 - 1 9

d y d x = 2 . 2 x + 3 2 - 5 2 x 2 - 96 x - 3 4 x 2 - 1 9

d y d x = - 2 . 2 x + 3 2 52 x 2 + 96 x + 3 4 x 2 - 1 9

Gostaram?

Resposta

d y d x = - 2 . 2 x + 3 2 52 x 2 + 96 x + 3 4 x 2 - 1 9

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