Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x + x + x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = x + x + x

E pede pra gente encontrar a sua derivada.

A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função tem três raízes, uma dentro da outra

Essa função pode ser entendida como uma função composta, onde podemos reescreve a função trocando as raízes pelos seus expoentes fracionários e obtendo:

y = x + x + x 1 2 1 2 1 2

e termos a função que pode ser entendida como:

y = x + f u 1 2 1 2

y = g f u 1 2

y = h g f u

Eita, isso aí ficou como uma casca de cebola. Uma função dentro da outra em várias camadas. Mas se liga. Para aplicar a regra da cadeia aqui, basta fazer a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro, e ir repetindo esse processo até chegarmos na derivada mais interna. Sempre de fora pra dentro, pra gente não se perder. Ok?

Assim, nossa derivada será:

y ' = h ' g f u ⋅ g ' f u ⋅ f ' u ⋅ u '

Bom, agora que já sabemos o que fazer, vamos aplicar essa regra da cadeia monstro aí.

Passo 2

Vamos agora de fato calcular y ' , como temos muitas funções dentro de funções vamos fazer por partes, separadinho, vamos lá:

y = x + x + x 1 2 1 2 1 2

A primeira derivação será:

y ' = 1 2 x + x + x 1 2 1 2 1 2 - 1 . x + x + x 1 2 1 2 '

Agora para o segundo fator, termos a regra da cadeia de novo. Veja:

y ' = 1 2 x + x + x 1 2 1 2 - 1 2 . x + x + x 1 2 1 2 '

Passo 3

Agora vamos usar a regra da cadeia novamente, além de usar a regra do expoente.

x n ' = n x n - 1

para calcular a derivada:

x + x + x 1 2 1 2 ' = x 1 - 1 + 1 2 x + x 1 2 1 2 - 1 . x + x 1 2 '

Arrumando um pouco as coisas, teremos:

x + x + x 1 2 1 2 ' = 1 + 1 2 x + x 1 2 - 1 2 . x + x 1 2 '

Passo 4

Agora a última, usando as mesmas regras que o passo anterior para a derivada de:

x + x 1 2 ' = x 1 - 1 + 1 2 x 1 2 - 1

Que nos dará:

x + x 1 2 ' = 1 + 1 2 x - 1 2

Passo 5

Por último é só substituir tudo de volta, vamos láno início.

y ' = 1 2 x + x + x 1 2 1 2 - 1 2 . x + x + x 1 2 1 2 '

y ' = 1 2 x + x + x 1 2 1 2 - 1 2 . 1 + 1 2 x + x 1 2 - 1 2 . x + x 1 2 '

Que nos dará:

y ' = 1 2 x + x + x 1 2 1 2 - 1 2 . 1 + 1 2 x + x 1 2 - 1 2 . 1 + 1 2 x - 1 2

Vamos simplificar um pouco isso voltando para as raízes:

y ' = 1 2 x + x + x . 1 + 1 2 x + x . 1 + 1 2 x

E prontinho. Temos nossa derivação.

Resposta

y ' = 1 2 x + x + x . 1 + 1 2 x + x . 1 + 1 2 x

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