Enunciado

Seja f x = x 2 .

(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .

(b) Use a simetria para deduzir os valores de f ' - 1 2 , f ' ( - 1 ) e f ' ( - 2 ) .

(c) Utilize os resultados de (a) e (b) para conjecturar uma fórmula para f ' ( x ) .

(d) Use a definição de derivada para demonstrar que sua conjectura em (c) está correta.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Bora resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função f x = x 2 nos pontos x = 0 , x = 1 2 , x = 1 e x = 2 , usando uma ferramenta gráfica para isso. Além disso, ele pediu pra gente usar a simetria da curva e deduzir os valores das derivadas nos pontos x = - 1 2 , x = - 1 e x = - 2 .

A partir disso, nós precisamos encontrar uma fórmula para essa derivada, f ' ( x ) . E por fim, demonstrar que essa fórmula está correta, usando a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico da função f x = x 2 :

Olha ali nossa bolinhas azuis, indicando os pontos onde x = 0 , x = 1 2 , x = 1 e x = 2 , nessa ordem, da esquerda para direita. Esses são nossos pontos de interesse, beleza?

Vamos dar um zoom nessa parte:

Repare que em x = 0 , a reta tangente nesse ponto seria horizontal, ou seja, teria inclinação zero. Isso quer dizer que a nossa derivada nesse ponto é dada por:

f ' 0 = 0

Agora para estimar o valor da derivada no ponto x = 1 2 , vamos a inclinação da tangente nesse ponto, que parece ser aproximadamente 1 . Então, temos:

f ' 1 2 ≈ 1

Da mesma forma, a inclinação da tangente no ponto x = 1 , parece ser aproximadamente 2 . Então, temos:

f ' 1 ≈ 2

Por fim, para x = 2 , conseguimos estimar uma inclinação na reta tangente de aproximadamente 4 . Logo:

f ' 2 = 4

Essas são estimativativas baseadas apenas na interpretação visual do gráfico, como o item (a) nos pediu.

Passo 3

Agora no item (b), ele pediu pra gente usar a simetria do gráfico para estimar a derivada nos pontos x = - 1 2 , x = - 1 e x = - 2 .

Olhando para o gráfico que desenhamos no passo 2 , da função f x = x 2 , a gente percebe que é espelhada em relação ao eixo y . Isso significa que o tem de um lado é igual ao que tem do outro, só muda o sinal, que passa a ser negativo.

Isso se aplica também as inclinações da retas tangentes nos pontos considerados, então também podemos estimar as derivadas, como fizemos no passo anterior, para obter por simetria:

f ' 0 = 0

f ' - 1 2 = - 1

f ' - 1 = - 2

f ' - 2 = - 4

Isso acontece porque f ' - x = - f ' ( x ) .

Passo 4

Agora para para conjecturar uma fórmula para f ' ( x ) , vamos analisar os resultados dos passos anteriores. Olha só:

P a r a   x = 1 2 → f ' 1 2 = 1

P a r a   x = 1 → f ' 1 = 2

P a r a   x = 2 → f ' 2 = 4

O mesmo acontece quando x é negativo. Percebeu que a derivada tá dobrando o valor de x ? Isso significa que a gente pode conjecturar uma fórmula onde x está sendo multiplicado por 2 , ou seja:

f ' x = 2 x

Passo 5

Agora vamos verificar se essa conjectura está correta, usando a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Para f x = x 2 e f x + h = x + h 2 , temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h

Expandindo o termo ao quadrado:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h

Simplificando:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h

Colocando h em evidência e simplificando novamente:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x + h

Assim, quando h vai pra zero, temos:

f ' x = 2 x

Mostrando que a nossa conjectura estava correta.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f ' 0 = 0 , f ' 1 2 = 1 , f ' 1 = 2 , f ' 2 = 4

b) f ' 0 = 0 , f ' - 1 2 = - 1 , f ' - 1 = - 2 , f ' - 2 = - 4

c) f ' x = 2 x

d) f ' x = 2 x

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