Encontre os números críticos da função

h(p) = (p - 1) / (p^2 + 4)

Passo 1

Nessa quetão devemos encontrar os números cíticos da seguinte função:

h (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)

Temos que um número crítico de uma função é o x quando:

f^' (x) = 0

Sabendo disso, o que nos resta agora é derivar e igualar a zero!

Passo 2

Vamos derivar usando a regra do quociente:

h (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)

h^' (p) = (1 (p^2 + 4) - 2 p (p - 1))/((p^2 + 4)^2) = (p^2 + 4 - 2 p^2 + 2 p)/((p^2 + 4)^2)

h^' ( p ) = (- p^2 + 2 p + 4)/((p^2 + 4)^2)

Passo 3

Agora, igualando a zero, ficamos com

(- p^2 + 2 p + 4)/((p^2 + 4)^2) = 0

Para que essa igualdade seja igual a zero o numerador deve ser zero:

- p^2 + 2 p + 4 = 0

Pela Fórmula de Baskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

x = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (- 1) 4))/(2 (- 1))

p = (- 2 +- sqrt(20))/(- 2)

Simplificando:

p = 1 +- sqrt(5)

No denominador, a função não existe quando o denominador for zero, então, o denominador igual a zero também é um número crítico:

(p^2 + 4)^2 = 0

p^2 + 4 = 0

p^2 = - 4

p = sqrt(- 4)

Logo, o denominador não possui uma raíz real, portanto 1 +- sqrt(5) são os únicos números críticos da função

Resposta

p = 1 +- sqrt(5)

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