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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 47

Encontre a primeira e segunda derivada da função. Verifique se suas respostas são razoáveis comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .

f x = 2 x - 5 x 3 4

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema devemos derivar a função

f x = 2 x - 5 x 3 4

duas vezes para encontrar a primeira e segunda derivada e, daí esboçar seus gráficos. Por fim, precisamos compararos gráficos e ver se eles são razoáveis.

Parece de boa? 😁

Para obter as derivadas de cada termo da função, vamos usar a regra da potência

d x a d x = a x a - 1

Veja só! 😊

Passo 2

A primeira derivada será

f x = 2 x - 5 x 3 4

f ' x = 2 x 1 - 1 - 5 3 4 x 3 4 - 1

f ' x = 2 - 15 4 x - 1 4

Já a segunda derivada será

f ' ' x = 2 0 - 15 4 - 1 4 x - 1 4 - 1

f ' ' x = 15 16 x - 5 4

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Plotando os gráficos f x = 2 x - 5 x 3 4 , f ' x = 2 - 15 4 x - 1 4 e f ' ' x = 15 16 x - 5 4

Em vermelho o gráfico de f , azul o de f ' e roxo o de f ' ' :

Note que como a curva azul é sempre negativa, a curva vermelha é sempre descrescnte.

Por outro lado, como a curva roxa é sempre positiva, a curva azul é sempre crescente, de modo que a curva vermelha tem sempre concavidade para cima.

Esse comportamento é bem razoável.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = 2 - 15 4 x - 1 4

f ' ' x = 15 16 x - 5 4

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